Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/2.7.8.md
+53 −3
| @@ -1,11 +1,61 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $2.7.8.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $2.7.8.$ Момент сил, действующих на твердое тело относительно его оси вращения, равен $M$. Докажите, что работа этих сил равна $M\varphi$, а угловое ускорение тела равно $\frac{M}{J}$, где $\varphi$ — угол поворота тела, а $J$ — момент инерции тела относительно оси вращения. | ||
| ### Решение | |||
| − | ыва | ||
| + | Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси. Разобьём его на бесконечно малые частицы массой $m_{i}$, находящиеся на расстоянии $r_{i}$ от оси вращения. | ||
| + | Каждая такая частица при вращении перемещается по дуге. Пусть на неё действует сила $\vec F_{i}$ и за малое время она смещается на дугу $ds_{i}=r_{i}d\varphi$, где $d\varphi$ - малый угол поворота. | ||
| + | |||
| + | Работа, совершаемая силой $\vec F_{i}$ над частицей: | ||
| + | |||
| + | $$dA_{i}=\vec F_{i}\cdot d\vec r_{i}$$ | ||
| + | |||
| + | Оставим только тангенциальную (касательную) составляющую силы: $F_{i,\tau}$, так как нормальная не совершает работы. | ||
| + | |||
| + | $$dA_{i}=F_{i,\tau}\cdot ds_{i}=F_{i,\tau}\cdot r_{i}d\varphi$$ | ||
| + | |||
| + | Суммарная работа по всем частицам: | ||
| + | |||
| + | $$dA=\sum_{i} F_{i,\tau}\cdot r_{i}d\varphi=\left( \sum_{i} F_{i,\tau}\cdot r_{i} \right)d\varphi$$ | ||
| + | |||
| + | А выражение в скобках — это и есть суммарный момент силы $M$: | ||
| + | |||
| + | $$M=\sum_{i} F_{i,\tau}\cdot r_{i}$$ | ||
| + | |||
| + | Таким образом: | ||
| + | |||
| + | $$dA=Md\varphi \Rightarrow A=\int Md\varphi$$ | ||
| + | |||
| + | Если $M=const$, то: | ||
| + | |||
| + | $$A=M\varphi \tag{1}$$ | ||
| + | |||
| + | Рассмотрим движение той же системы частиц. Каждая частица массой $m_{i}$, находясь на расстоянии $r_{i}$, движется с тангенциальным ускорением: | ||
| + | |||
| + | $$a_{i,\tau}=r_{i}\beta$$ | ||
| + | |||
| + | где $\beta$ — угловое ускорение всего тела (оно общее для всех частиц, так как твердое тело). | ||
| + | |||
| + | Касательная сила, действующая на частицу, по второму закону Ньютона: | ||
| + | |||
| + | $$F_{i,\tau}=m_{i}a_{i,\tau}=m_{i}r_{i}\beta$$ | ||
| + | |||
| + | Теперь выразим момент этой силы: | ||
| + | |||
| + | $$M_{i}=F_{i,\tau}\cdot r_{i}=m_{i}r_{i}\beta \cdot r_{i}=m_{i}r_{i}^{2}\beta$$ | ||
| + | |||
| + | Суммарный момент всех сил: | ||
| + | |||
| + | $$M=\sum_{i}M_{i}=\sum_{i}m_{i}r_{i}^{2}\beta=\beta \sum_{i}m_{i}r_{i}^{2}=\beta J$$ | ||
| + | |||
| + | где $J=\sum_{i}m_{i}r_{i}^{2}$ - момент инерции относительно оси вращения. Отсюда: | ||
| + | |||
| + | $$\beta=\frac{M}{J}$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $A=M\varphi$ | ||
| + | |||
| + | $\beta=\frac{M}{J}$ | ||
| @@ -1,11 +1,61 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.7.8.$ [Вставьте условие задачи] | $2.7.8.$ Момент сил, действующих на твердое тело относительно его оси вращения, равен $M$. Докажите, что работа этих сил равна $M\varphi$, а угловое ускорение тела равно $\frac{M}{J}$, где $\varphi$ — угол поворота тела, а $J$ — момент инерции тела относительно оси вращения. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| ыва | Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси. Разобьём его на бесконечно малые частицы массой $m_{i}$, находящиеся на расстоянии $r_{i}$ от оси вращения. | ||
| Каждая такая частица при вращении перемещается по дуге. Пусть на неё действует сила $\vec F_{i}$ и за малое время она смещается на дугу $ds_{i}=r_{i}d\varphi$, где $d\varphi$ - малый угол поворота. | |||
| Работа, совершаемая силой $\vec F_{i}$ над частицей: | |||
| $$dA_{i}=\vec F_{i}\cdot d\vec r_{i}$$ | |||
| Оставим только тангенциальную (касательную) составляющую силы: $F_{i,\tau}$, так как нормальная не совершает работы. | |||
| $$dA_{i}=F_{i,\tau}\cdot ds_{i}=F_{i,\tau}\cdot r_{i}d\varphi$$ | |||
| Суммарная работа по всем частицам: | |||
| $$dA=\sum_{i} F_{i,\tau}\cdot r_{i}d\varphi=\left( \sum_{i} F_{i,\tau}\cdot r_{i} \right)d\varphi$$ | |||
| А выражение в скобках — это и есть суммарный момент силы $M$: | |||
| $$M=\sum_{i} F_{i,\tau}\cdot r_{i}$$ | |||
| Таким образом: | |||
| $$dA=Md\varphi \Rightarrow A=\int Md\varphi$$ | |||
| Если $M=const$, то: | |||
| $$A=M\varphi \tag{1}$$ | |||
| Рассмотрим движение той же системы частиц. Каждая частица массой $m_{i}$, находясь на расстоянии $r_{i}$, движется с тангенциальным ускорением: | |||
| $$a_{i,\tau}=r_{i}\beta$$ | |||
| где $\beta$ — угловое ускорение всего тела (оно общее для всех частиц, так как твердое тело). | |||
| Касательная сила, действующая на частицу, по второму закону Ньютона: | |||
| $$F_{i,\tau}=m_{i}a_{i,\tau}=m_{i}r_{i}\beta$$ | |||
| Теперь выразим момент этой силы: | |||
| $$M_{i}=F_{i,\tau}\cdot r_{i}=m_{i}r_{i}\beta \cdot r_{i}=m_{i}r_{i}^{2}\beta$$ | |||
| Суммарный момент всех сил: | |||
| $$M=\sum_{i}M_{i}=\sum_{i}m_{i}r_{i}^{2}\beta=\beta \sum_{i}m_{i}r_{i}^{2}=\beta J$$ | |||
| где $J=\sum_{i}m_{i}r_{i}^{2}$ - момент инерции относительно оси вращения. Отсюда: | |||
| $$\beta=\frac{M}{J}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $A=M\varphi$ | ||
| $\beta=\frac{M}{J}$ | |||