Правка разделов «Решение», «Ответ»
ru/6.5.16.md
+14 −1
| ### Условие | |||
| $6.5.16.$ Энергия $W$ любой системы связана с массой этой системы соотношением Эйнштейна $W=mc^{2}$. Следовательно, электрическое поле обладает массой. Предположим, что вся масса электрона «электрическая». Определите «классический» радиус электрона, считая, что заряд электрона распределен по его поверхности. | |||
| ### Решение | |||
| Если мы представляем электрон в виде сферы радиуса $R$ и с зарядом $e$ равномерно распределённым по поверхности сферы, то вычислим сначала энергию электрического поля такой сферы. Общая формула для энергии электрического поля в объёме $V$: | |||
| $$W=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}\int E^{2}dV$$ | |||
| Электрическое поле внутри сферы $r\lt R$: | |||
| $$E=0$$ | |||
| Электрическое поле снаружи сферы $r\ge R$: | |||
| $$E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{e}{r^{2}}$$ | |||
| @@ -18,8 +18,21 @@Решение | |||
| Поскольку поле внутри сферы отсутствует, то энергия поля будет состоять из энергии снаружи сферы. Поэтому интегрирование будем производить в пределах от $R$ до бесконечности. Элемент объёма в сферически симметричной системе: $dV=4\pi r^{2}dr$, тогда интеграл для энергии можна записать: | |||
| + | $$W=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}\int_{R}^{\infty }\left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{e}{r^{2}} \right)^{2}4\pi r^{2}dr=\frac{e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}}\int_{R}^{\infty }\frac{1}{r^{2}}dr=\frac{e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}}\left[ -\frac{1}{r} \right]_{R}^{\infty }=\frac{e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}$$ | ||
| + | Приравняем эту энергию к энергии по Эйнштейну $W=m_{e}c^{2}$: | ||
| + | $$m_{e}c^{2}=\frac{e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}$$ | ||
| + | |||
| + | Отсюда радиус: | ||
| + | |||
| + | $$R=\frac{e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}m_{e}c^{2}}$$ | ||
| + | |||
| + | Подставляя числовые значения, получим: | ||
| + | |||
| + | $$R\approx 1,4\cdot 10^{-15} \text{ м.}$$ | ||
| + | |||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $R\approx 1,4\cdot 10^{-15} \text{ м.}$ | ||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $6.5.16.$ Энергия $W$ любой системы связана с массой этой системы соотношением Эйнштейна $W=mc^{2}$. Следовательно, электрическое поле обладает массой. Предположим, что вся масса электрона «электрическая». Определите «классический» радиус электрона, считая, что заряд электрона распределен по его поверхности. | $6.5.16.$ Энергия $W$ любой системы связана с массой этой системы соотношением Эйнштейна $W=mc^{2}$. Следовательно, электрическое поле обладает массой. Предположим, что вся масса электрона «электрическая». Определите «классический» радиус электрона, считая, что заряд электрона распределен по его поверхности. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Если мы представляем электрон в виде сферы радиуса $R$ и с зарядом $e$ равномерно распределённым по поверхности сферы, то вычислим сначала энергию электрического поля такой сферы. Общая формула для энергии электрического поля в объёме $V$: | Если мы представляем электрон в виде сферы радиуса $R$ и с зарядом $e$ равномерно распределённым по поверхности сферы, то вычислим сначала энергию электрического поля такой сферы. Общая формула для энергии электрического поля в объёме $V$: | ||
| $$W=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}\int E^{2}dV$$ | $$W=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}\int E^{2}dV$$ | ||
| Электрическое поле внутри сферы $r\lt R$: | Электрическое поле внутри сферы $r\lt R$: | ||
| $$E=0$$ | $$E=0$$ | ||
| Электрическое поле снаружи сферы $r\ge R$: | Электрическое поле снаружи сферы $r\ge R$: | ||
| $$E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{e}{r^{2}}$$ | $$E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{e}{r^{2}}$$ | ||
| @@ -18,8 +18,21 @@Решение | |||
| Поскольку поле внутри сферы отсутствует, то энергия поля будет состоять из энергии снаружи сферы. Поэтому интегрирование будем производить в пределах от $R$ до бесконечности. Элемент объёма в сферически симметричной системе: $dV=4\pi r^{2}dr$, тогда интеграл для энергии можна записать: | Поскольку поле внутри сферы отсутствует, то энергия поля будет состоять из энергии снаружи сферы. Поэтому интегрирование будем производить в пределах от $R$ до бесконечности. Элемент объёма в сферически симметричной системе: $dV=4\pi r^{2}dr$, тогда интеграл для энергии можна записать: | ||
| $$W=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}\int_{R}^{\infty }\left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{e}{r^{2}} \right)^{2}4\pi r^{2}dr=\frac{e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}}\int_{R}^{\infty }\frac{1}{r^{2}}dr=\frac{e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}}\left[ -\frac{1}{r} \right]_{R}^{\infty }=\frac{e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}$$ | |||
| Приравняем эту энергию к энергии по Эйнштейну $W=m_{e}c^{2}$: | |||
| $$m_{e}c^{2}=\frac{e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}$$ | |||
| Отсюда радиус: | |||
| $$R=\frac{e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}m_{e}c^{2}}$$ | |||
| Подставляя числовые значения, получим: | |||
| $$R\approx 1,4\cdot 10^{-15} \text{ м.}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $R\approx 1,4\cdot 10^{-15} \text{ м.}$ | ||