Решение

Чтобы уменьшить радиус заряженной сферы в два раза, нужно совершить работу против электрических сил, которые стремятся раздвинуть сферу обратно — из-за отталкивания одноимённых зарядов.

Воспользуемся формулой для энергии электрического поля заряженной сферы радиуса $R$ с зарядом $Q$, которая была выведена в задаче $6.5.15$:

$$W_{1}=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}$$

Энергия сферы с радиусом в два раза меньшим и тем же зарядом:

$$W_{2}=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\frac{R}{2}}=\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$

Работа $A$, совершаемая против сил, равна приращению энергии:

$$A=W_{2}-W_{1}=\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}-\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}$$