Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/6.5.20.md
+26 −3
| @@ -1,11 +1,34 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $6.5.20.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $6.5.20.$ Какую минимальную работу против сил электрического поля нужно совершить, чтобы собрать каплю ртути радиуса $R$ с зарядом $Q$ из $N$ одинаковых заряженных капель? | ||
| ### Решение | |||
| − | выа | ||
| + | Работа будет равна разности конечной и начальной электростатических энергий. Поскольку силы электрического отталкивания мешают сжатию системы, работа пойдёт на преодоление этого сопротивления. Поскольку ртуть это проводник, то заряд в капле будет распределён по поверхности. Внутри капли электрическое поле будет равно 0, поэтому мы вправе использовать формулу для энергии электрического поля сферы радиуса $r$ и с зарядом $q$ для одной капли (см. задачу $6.5.15$): | ||
| + | $$w=\frac{q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r}$$ | ||
| + | |||
| + | Общая энергия $N$ маленьких капель: | ||
| + | |||
| + | $$W_{1}=Nw=\frac{Nq^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r} \tag{1}$$ | ||
| + | |||
| + | Энергия одной большой капли радиуса $R$, с зарядом $Q$: | ||
| + | |||
| + | $$W_{2}=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}$$ | ||
| + | |||
| + | Заряд большой капли равен сумме зарядов маленьких капель: $Q=Nq \Rightarrow q=\frac{Q}{N}$. Кроме того, объём большой капли будет равен сумме объёмов маленьких капель: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{4}{3}\pi R^{3}=N\frac{4}{3}\pi r^{3}$$ | ||
| + | $$r=RN^{-\frac{1}{3}}$$ | ||
| + | |||
| + | Подставим $q$ и $r$ в (1): | ||
| + | |||
| + | $$W_{1}=\frac{N\left( \frac{Q}{N} \right)^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}RN^{-\frac{1}{3}}}=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}RN^{\frac{2}{3}}}=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}N^{-\frac{2}{3}}$$ | ||
| + | |||
| + | Работа будет равна: | ||
| + | |||
| + | $$A=W_{2}-W_{1}=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}-\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}N^{-\frac{2}{3}}=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}\left( 1-N^{-\frac{2}{3}} \right)$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $A=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}\left( 1-N^{-\frac{2}{3}} \right)$ | ||
| @@ -1,11 +1,34 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $6.5.20.$ [Вставьте условие задачи] | $6.5.20.$ Какую минимальную работу против сил электрического поля нужно совершить, чтобы собрать каплю ртути радиуса $R$ с зарядом $Q$ из $N$ одинаковых заряженных капель? | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| выа | Работа будет равна разности конечной и начальной электростатических энергий. Поскольку силы электрического отталкивания мешают сжатию системы, работа пойдёт на преодоление этого сопротивления. Поскольку ртуть это проводник, то заряд в капле будет распределён по поверхности. Внутри капли электрическое поле будет равно 0, поэтому мы вправе использовать формулу для энергии электрического поля сферы радиуса $r$ и с зарядом $q$ для одной капли (см. задачу $6.5.15$): | ||
| $$w=\frac{q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r}$$ | |||
| Общая энергия $N$ маленьких капель: | |||
| $$W_{1}=Nw=\frac{Nq^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r} \tag{1}$$ | |||
| Энергия одной большой капли радиуса $R$, с зарядом $Q$: | |||
| $$W_{2}=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}$$ | |||
| Заряд большой капли равен сумме зарядов маленьких капель: $Q=Nq \Rightarrow q=\frac{Q}{N}$. Кроме того, объём большой капли будет равен сумме объёмов маленьких капель: | |||
| $$\frac{4}{3}\pi R^{3}=N\frac{4}{3}\pi r^{3}$$ | |||
| $$r=RN^{-\frac{1}{3}}$$ | |||
| Подставим $q$ и $r$ в (1): | |||
| $$W_{1}=\frac{N\left( \frac{Q}{N} \right)^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}RN^{-\frac{1}{3}}}=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}RN^{\frac{2}{3}}}=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}N^{-\frac{2}{3}}$$ | |||
| Работа будет равна: | |||
| $$A=W_{2}-W_{1}=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}-\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}N^{-\frac{2}{3}}=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}\left( 1-N^{-\frac{2}{3}} \right)$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $A=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}\left( 1-N^{-\frac{2}{3}} \right)$ | ||