Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/6.3.21.md
+49 −3
| @@ -1,11 +1,57 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $6.3.21.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $6.3.21.$ Потенциал внутренней сферы радиуса $r$ равен нулю (сфера заземлена). Потенциал внешней сферы радиуса $2r$ равен $\varphi$. Определите заряд сфер. Центры сфер совпадают. | ||
| ### Решение | |||
| − | ыва | ||
| + |  | ||
| + | Пусть $q_{r}$ - заряд на сфере радиуса $r$, а $q_{2r}$ - заряд на сфере радиуса $2r$. | ||
| + | |||
| + | Потенциал на внешней сфере будет складываться из суммы потенциалов создающий зарядом внутренней сферой и потенциалом создающим зарядом на внешней сфере: | ||
| + | |||
| + | $$\varphi=\varphi_{q_{r}}+\varphi_{q_{2r}}$$ | ||
| + | |||
| + | Потенциал заряда $q_{r}$ на расстоянии $2r$: | ||
| + | |||
| + | $$\varphi_{q_{r}}(2r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{r}}{2r}$$ | ||
| + | |||
| + | Потенциал заряда $q_{2r}$ на поверхности внешней сферы: | ||
| + | |||
| + | $$\varphi_{q_{2r}}(2r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{2r}}{2r}$$ | ||
| + | |||
| + | Суммарный потенциал на внешней сфере: | ||
| + | |||
| + | $$\varphi=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{r}}{2r}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{2r}}{2r}$$ | ||
| + | $$\varphi=\frac{q_{r}+q_{2r}}{8\pi\varepsilon_{0}r}$$ | ||
| + | |||
| + | Отсюда найдём сумму зарядов: | ||
| + | |||
| + | $$q_{r}+q_{2r}=8\pi\varepsilon_{0}r\varphi \tag{1}$$ | ||
| + | |||
| + | Теперь используем то, что внутренняя сфера заземлена, т.е. её потенциал ноль. Потенциал на внутренней сфере будет также суммой двух потенциалов. Первый создаётся на поверхности самим зарядом сферы $q_{r}$, а второй потенциал создан внешней сферой и внутри внешней сферы он постоянен. Запишем это: | ||
| + | |||
| + | $$\varphi_{q_{r}}(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{r}}{r}$$ | ||
| + | $$\varphi_{q_{2r}}(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{2r}}{2r}$$ | ||
| + | |||
| + | Сумма этих потенциалов должна равняться 0: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{r}}{r}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{2r}}{2r}=0$$ | ||
| + | |||
| + | Отсюда получаем: | ||
| + | |||
| + | $$2q_{r}+q_{2r}=0 \tag{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Вычтем из выражения (2) выражение (1) и сразу получим $q_{r}$: | ||
| + | |||
| + | $$q_{r}=-8\pi\varepsilon_{0}r\varphi$$ | ||
| + | |||
| + | Подставляя $q_{r}$ в (2) найдём $q_{2r}$: | ||
| + | |||
| + | $$q_{2r}=-2q_{r}=16\pi\varepsilon_{0}r\varphi$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $q_{r}=-8\pi\varepsilon_{0}r\varphi$ | ||
| + | |||
| + | $q_{2r}=16\pi\varepsilon_{0}r\varphi$ | ||
| @@ -1,11 +1,57 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $6.3.21.$ [Вставьте условие задачи] | $6.3.21.$ Потенциал внутренней сферы радиуса $r$ равен нулю (сфера заземлена). Потенциал внешней сферы радиуса $2r$ равен $\varphi$. Определите заряд сфер. Центры сфер совпадают. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| ыва |  | ||
| Пусть $q_{r}$ - заряд на сфере радиуса $r$, а $q_{2r}$ - заряд на сфере радиуса $2r$. | |||
| Потенциал на внешней сфере будет складываться из суммы потенциалов создающий зарядом внутренней сферой и потенциалом создающим зарядом на внешней сфере: | |||
| $$\varphi=\varphi_{q_{r}}+\varphi_{q_{2r}}$$ | |||
| Потенциал заряда $q_{r}$ на расстоянии $2r$: | |||
| $$\varphi_{q_{r}}(2r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{r}}{2r}$$ | |||
| Потенциал заряда $q_{2r}$ на поверхности внешней сферы: | |||
| $$\varphi_{q_{2r}}(2r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{2r}}{2r}$$ | |||
| Суммарный потенциал на внешней сфере: | |||
| $$\varphi=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{r}}{2r}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{2r}}{2r}$$ | |||
| $$\varphi=\frac{q_{r}+q_{2r}}{8\pi\varepsilon_{0}r}$$ | |||
| Отсюда найдём сумму зарядов: | |||
| $$q_{r}+q_{2r}=8\pi\varepsilon_{0}r\varphi \tag{1}$$ | |||
| Теперь используем то, что внутренняя сфера заземлена, т.е. её потенциал ноль. Потенциал на внутренней сфере будет также суммой двух потенциалов. Первый создаётся на поверхности самим зарядом сферы $q_{r}$, а второй потенциал создан внешней сферой и внутри внешней сферы он постоянен. Запишем это: | |||
| $$\varphi_{q_{r}}(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{r}}{r}$$ | |||
| $$\varphi_{q_{2r}}(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{2r}}{2r}$$ | |||
| Сумма этих потенциалов должна равняться 0: | |||
| $$\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{r}}{r}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{2r}}{2r}=0$$ | |||
| Отсюда получаем: | |||
| $$2q_{r}+q_{2r}=0 \tag{2}$$ | |||
| Вычтем из выражения (2) выражение (1) и сразу получим $q_{r}$: | |||
| $$q_{r}=-8\pi\varepsilon_{0}r\varphi$$ | |||
| Подставляя $q_{r}$ в (2) найдём $q_{2r}$: | |||
| $$q_{2r}=-2q_{r}=16\pi\varepsilon_{0}r\varphi$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $q_{r}=-8\pi\varepsilon_{0}r\varphi$ | ||
| $q_{2r}=16\pi\varepsilon_{0}r\varphi$ | |||