Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

emixter правка от
Посмотреть решение История
правка #14152 предыдущая #14151 ← раньше позже →
ru/6.3.25.md +27 −3
@@ -1,11 +1,35 @@
### Условие
−$6.3.25.$ [Вставьте условие задачи]
+$6.3.25.$ Равномерно заряженный шар радиуса $R$ имеет объемную плотность заряда $\rho$. Найдите напряженность поля и потенциал шара в зависимости от расстояния до его центра.
### Решение
−fdg
+Общий заряд шара:
+$$Q=\frac{4}{3}\rho\pi R^{3}$$
+
+Найдём напряжённость поля внутри шара $0\lt r\lt R$. Для этого воспользуемся теоремой Гаусса. Выберем сферическую поверхность радиуса $r\lt R$. Заряд внутри этой поверхности:
+
+$$q=\frac{4}{3}\rho\pi r^{3}$$
+
+По теореме Гаусса:
+
+$$E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{q}{\varepsilon_{0}}=\frac{4\rho\pi r^{3}}{3\varepsilon_{0}}$$
+$$E(r)=\frac{\rho r}{3\varepsilon_{0}} \tag{1}$$
+
+Теперь найдём напряжённость поля снаружи шара $r\gt R$. Весь заряд $Q$ заключён внутри сферы, тогда по теореме Гаусса:
+
+$$E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}=\frac{4\rho\pi R^{3}}{3\varepsilon_{0}}$$
+$$E(r)=\frac{\rho R^{3}}{3\varepsilon_{0}r^{2}} \tag{2}$$
+
+Найдём потенциал внутри шара $0\lt r\lt R$. По определению разности потенциалов:
+
+$$\varphi(r)-\varphi(R)=\frac{A_{rR}}{q_{0}}=\int_{r}^{R}E(r^{'})dr^{'}$$
+$$\varphi(r)=\varphi(R)+\int_{r}^{R}E(r^{'})dr^{'}$$
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$E=\frac{\rho r}{3\varepsilon_{0}}$, $\varphi=\frac{\rho}{2\varepsilon_{0}}\left( R^{2}-\frac{r^{2}}{3} \right)$ при $0\lt r\lt R$
+
+$E=\frac{\rho R^{3}}{3\varepsilon_{0}r^{2}}$, $\varphi=\frac{\rho R^{3}}{3\varepsilon_{0}r}$ при $r\gt R$