Решение

После замыкания ключа $\boldsymbol{K_1}$

Второе правило Кирхгофа для $LC$-контура:

$$L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0$$

или, с учетом $i=dq/dt$ и перестановки в этой формуле:

$$\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{1}{LC}i=0.$$

Это дифференциальное уравнение вида $\ddot x+\omega^2x=0$, описывающее гармонические колебания. Его решением является функция:

$$i=I_\text{max}\cos(\omega t+\varphi).$$

где $I_\text{max}$ есть амплитуда тока, $\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, $\varphi$ есть начальная фаза.

Начальную фазу $\varphi$ определим из начального момента времени, с учетом того, что ток в катушке в момент коммутации ключа $K_1$ не может измениться, как говорят, скачком:

$$0=I_\text{max}\cos(\omega\cdot0+\varphi),$$

откуда видим: $\varphi=\dfrac{\pi}{2}$, так что решение указанного дифф. уравнения можно записать короче:

$$i=-I_\text{max}\sin(\omega t),\tag{1}$$

Для определения максимума $I_\text{max}$ тока проинтегрируем по времени формулу $(1)$, то есть найдем закон изменения заряда конденсатора:

$$q=\int-I_\text{max}\sin(\omega t)\,dt=-\frac{I_\text{max}}{\omega}\int\sin(\omega t)\,d\omega t=\frac{I_\text{max}}{\omega}\cos(\omega t).$$

Получается, что максимум $I_\text{max}$ мы можем найти из этой формулы с учетом $t=0$ и $q=CV_0$:

$$CV_0=\frac{I_\text{max}}{\omega}\quad \Rightarrow\quad I_\text{max}=\omega CV_0.$$