Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/6.3.36.md
+54 −3
| @@ -1,11 +1,62 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $6.3.36.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $6.3.36.$ С помощью электрофорной машины металлический шарик 1 можно зарядить до заряда $Q$. Затем, через соприкосновение с металлическим же шариком 2, можно передать тому часть заряда. При первом соприкосновении на шарик 2 перешел заряд $q$. Определите, до какого заряда, многократно повторяя процесс, можно зарядить шарик 2. | ||
| + |  | ||
| + | |||
| ### Решение | |||
| − | dfds | ||
| + | Допустим, что мы уже произвели $(n-1)$ раз такую процедуру передачи заряда между шариками. Тогда перед $n$ разом, у нас шарик 2 уже имеет заряд $q_{n-1}$, а шарик 1 вновь восстановил свой заряд до значения $Q$ с помощью электрофорной машины. Суммарный заряд в нашей системе двух заряженных шариков: $(q_{n-1}+Q)$. | ||
| + | Когда шарики соприкасаются, их потенциалы становятся равными. Тогда после соприкосновения заряды распределяются так, чтобы: | ||
| + | |||
| + | $$\varphi_{1}=\varphi_{2}$$ | ||
| + | $$\frac{q^{'}}{4\pi\varepsilon_{0}R_{1}}=\frac{q_{n}}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}} \tag{1}$$ | ||
| + | |||
| + | где $R_{1}$ и $R_{2}$ соответствующие радиусы шариков 1 и 2. | ||
| + | |||
| + | По закону сохранения заряда: | ||
| + | |||
| + | $$q^{'}+q_{n}=q_{n-1}+Q \tag{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Выразим из (1) $q^{'}$: | ||
| + | |||
| + | $$q^{'}=\frac{R_{1}}{R_{2}}q_{n}$$ | ||
| + | |||
| + | Подставим это выражение в (2): | ||
| + | |||
| + | $$\frac{R_{1}}{R_{2}}q_{n}+q_{n}=q_{n-1}+Q$$ | ||
| + | |||
| + | Выразим отсюда $q_{n}$: | ||
| + | |||
| + | $$q_{n}=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}(q_{n-1}+Q)$$ | ||
| + | |||
| + | Введём обозначение: | ||
| + | |||
| + | $$k=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$$ | ||
| + | |||
| + | Тогда получим такую рекурсию: | ||
| + | |||
| + | $$q_{n}=k\cdot (q_{n-1}+Q) \tag{3}$$ | ||
| + | |||
| + | В случае многократного обмена, когда $n\to \infty$ и конечности величины $Q$, можно считать, что $q_{n}\approx q_{n-1}=q_{\infty }$. Наша рекурсия получит вид: | ||
| + | |||
| + | $$q_{\infty }=k\cdot (q_{\infty }+Q)$$ | ||
| + | |||
| + | Выразим отсюда $q_{\infty }$: | ||
| + | |||
| + | $$q_{\infty }=\frac{kQ}{1-k} \tag{4}$$ | ||
| + | |||
| + | Нам необходимо найти $k$. По условию задачи при первом соприкосновении на шарик 2 перешел заряд $q$, то есть $q_{1}=q$, а до этого шарик 2 не имел заряда, это значит $q_{0}=0$. Подставим эти значения в рекурентную формулу (3): | ||
| + | |||
| + | $$q=k\cdot (0+Q)$$ | ||
| + | $$k=\frac{q}{Q}$$ | ||
| + | |||
| + | Теперь подставим $k$ в (4): | ||
| + | |||
| + | $$q_{\infty }=\frac{\frac{q}{Q}Q}{1-\frac{q}{Q}}$$ | ||
| + | $$q_{\infty }=\frac{qQ}{Q-q}$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $Q^{'}=\frac{qQ}{Q-q}$ | ||
| @@ -1,11 +1,62 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $6.3.36.$ [Вставьте условие задачи] | $6.3.36.$ С помощью электрофорной машины металлический шарик 1 можно зарядить до заряда $Q$. Затем, через соприкосновение с металлическим же шариком 2, можно передать тому часть заряда. При первом соприкосновении на шарик 2 перешел заряд $q$. Определите, до какого заряда, многократно повторяя процесс, можно зарядить шарик 2. | ||
|  | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| dfds | Допустим, что мы уже произвели $(n-1)$ раз такую процедуру передачи заряда между шариками. Тогда перед $n$ разом, у нас шарик 2 уже имеет заряд $q_{n-1}$, а шарик 1 вновь восстановил свой заряд до значения $Q$ с помощью электрофорной машины. Суммарный заряд в нашей системе двух заряженных шариков: $(q_{n-1}+Q)$. | ||
| Когда шарики соприкасаются, их потенциалы становятся равными. Тогда после соприкосновения заряды распределяются так, чтобы: | |||
| $$\varphi_{1}=\varphi_{2}$$ | |||
| $$\frac{q^{'}}{4\pi\varepsilon_{0}R_{1}}=\frac{q_{n}}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}} \tag{1}$$ | |||
| где $R_{1}$ и $R_{2}$ соответствующие радиусы шариков 1 и 2. | |||
| По закону сохранения заряда: | |||
| $$q^{'}+q_{n}=q_{n-1}+Q \tag{2}$$ | |||
| Выразим из (1) $q^{'}$: | |||
| $$q^{'}=\frac{R_{1}}{R_{2}}q_{n}$$ | |||
| Подставим это выражение в (2): | |||
| $$\frac{R_{1}}{R_{2}}q_{n}+q_{n}=q_{n-1}+Q$$ | |||
| Выразим отсюда $q_{n}$: | |||
| $$q_{n}=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}(q_{n-1}+Q)$$ | |||
| Введём обозначение: | |||
| $$k=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$$ | |||
| Тогда получим такую рекурсию: | |||
| $$q_{n}=k\cdot (q_{n-1}+Q) \tag{3}$$ | |||
| В случае многократного обмена, когда $n\to \infty$ и конечности величины $Q$, можно считать, что $q_{n}\approx q_{n-1}=q_{\infty }$. Наша рекурсия получит вид: | |||
| $$q_{\infty }=k\cdot (q_{\infty }+Q)$$ | |||
| Выразим отсюда $q_{\infty }$: | |||
| $$q_{\infty }=\frac{kQ}{1-k} \tag{4}$$ | |||
| Нам необходимо найти $k$. По условию задачи при первом соприкосновении на шарик 2 перешел заряд $q$, то есть $q_{1}=q$, а до этого шарик 2 не имел заряда, это значит $q_{0}=0$. Подставим эти значения в рекурентную формулу (3): | |||
| $$q=k\cdot (0+Q)$$ | |||
| $$k=\frac{q}{Q}$$ | |||
| Теперь подставим $k$ в (4): | |||
| $$q_{\infty }=\frac{\frac{q}{Q}Q}{1-\frac{q}{Q}}$$ | |||
| $$q_{\infty }=\frac{qQ}{Q-q}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $Q^{'}=\frac{qQ}{Q-q}$ | ||