Правка раздела «Решение»
ru/7.4.12.md
+3 −0
| ### Условие | |||
| $7.4.12.$ Вокруг тяжелого ядра с зарядом $Ze$ на расстоянии $r$ вращается по круговой орбите электрон. Какую минимальную энергию нужно сообщить электрону, чтобы он оторвался от ядра? | |||
| @@ -4,6 +4,8 @@Условие | |||
| ### Решение | |||
| + | В этой задаче считается, что масса ядра намного больше массы электрона, поэтому мы будем считать, что центр масс системы после отрыва электрона не изменяет свого положения. | ||
| + | |||
| Электрон массой $m$ и зарядом $−e$ вращается по круговой орбите вокруг ядра с зарядом $Ze$. Его удерживает кулоновская сила: | |||
| $$F=\frac{Ze^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}$$ | |||
| Эта сила обеспечивает центростремительное ускорение: | |||
| $$F=m\frac{\upsilon^{2}}{r}$$ | |||
| Приравниваем: | |||
| $$m\frac{\upsilon^{2}}{r}=\frac{Ze^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}$$ | |||
| Отсюда: | |||
| $$\upsilon^{2}=\frac{Ze^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}mr}$$ | |||
| Полная энергия электрона: | |||
| $$E=K+U$$ | |||
| Кинетическая энергия электрона: | |||
| $$K=\frac{1}{2}m\upsilon^{2}=\frac{1}{2}m\frac{Ze^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}mr}=\frac{Ze^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r}$$ | |||
| Потенциальная энергия (отрицательная, так как заряды разноименные): | |||
| $$U=-\frac{Ze^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r}$$ | |||
| Итак, полная энергия: | |||
| $$E=\frac{Ze^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r}-\frac{Ze^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r}=-\frac{Ze^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r}$$ | |||
| Орбита электрона станет незамкнутой (электрон оторвётся от ядра), когда его полная механическая энергия перестанет быть отрицательной. Для этого электрону необходимо сообщить дополнительную минимальную энергию: | |||
| @@ -40,7 +42,8 @@Решение | |||
| $$E+K_{min}=0$$ | |||
| $$K_{min}=-E=\frac{Ze^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r}$$ | |||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| $$K_{min}=\frac{Ze^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r}$$ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $7.4.12.$ Вокруг тяжелого ядра с зарядом $Ze$ на расстоянии $r$ вращается по круговой орбите электрон. Какую минимальную энергию нужно сообщить электрону, чтобы он оторвался от ядра? | $7.4.12.$ Вокруг тяжелого ядра с зарядом $Ze$ на расстоянии $r$ вращается по круговой орбите электрон. Какую минимальную энергию нужно сообщить электрону, чтобы он оторвался от ядра? | ||
| @@ -4,6 +4,8 @@Условие | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| В этой задаче считается, что масса ядра намного больше массы электрона, поэтому мы будем считать, что центр масс системы после отрыва электрона не изменяет свого положения. | |||
| Электрон массой $m$ и зарядом $−e$ вращается по круговой орбите вокруг ядра с зарядом $Ze$. Его удерживает кулоновская сила: | Электрон массой $m$ и зарядом $−e$ вращается по круговой орбите вокруг ядра с зарядом $Ze$. Его удерживает кулоновская сила: | ||
| $$F=\frac{Ze^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}$$ | $$F=\frac{Ze^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}$$ | ||
| Эта сила обеспечивает центростремительное ускорение: | Эта сила обеспечивает центростремительное ускорение: | ||
| $$F=m\frac{\upsilon^{2}}{r}$$ | $$F=m\frac{\upsilon^{2}}{r}$$ | ||
| Приравниваем: | Приравниваем: | ||
| $$m\frac{\upsilon^{2}}{r}=\frac{Ze^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}$$ | $$m\frac{\upsilon^{2}}{r}=\frac{Ze^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}$$ | ||
| Отсюда: | Отсюда: | ||
| $$\upsilon^{2}=\frac{Ze^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}mr}$$ | $$\upsilon^{2}=\frac{Ze^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}mr}$$ | ||
| Полная энергия электрона: | Полная энергия электрона: | ||
| $$E=K+U$$ | $$E=K+U$$ | ||
| Кинетическая энергия электрона: | Кинетическая энергия электрона: | ||
| $$K=\frac{1}{2}m\upsilon^{2}=\frac{1}{2}m\frac{Ze^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}mr}=\frac{Ze^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r}$$ | $$K=\frac{1}{2}m\upsilon^{2}=\frac{1}{2}m\frac{Ze^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}mr}=\frac{Ze^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r}$$ | ||
| Потенциальная энергия (отрицательная, так как заряды разноименные): | Потенциальная энергия (отрицательная, так как заряды разноименные): | ||
| $$U=-\frac{Ze^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r}$$ | $$U=-\frac{Ze^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r}$$ | ||
| Итак, полная энергия: | Итак, полная энергия: | ||
| $$E=\frac{Ze^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r}-\frac{Ze^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r}=-\frac{Ze^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r}$$ | $$E=\frac{Ze^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r}-\frac{Ze^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r}=-\frac{Ze^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r}$$ | ||
| Орбита электрона станет незамкнутой (электрон оторвётся от ядра), когда его полная механическая энергия перестанет быть отрицательной. Для этого электрону необходимо сообщить дополнительную минимальную энергию: | Орбита электрона станет незамкнутой (электрон оторвётся от ядра), когда его полная механическая энергия перестанет быть отрицательной. Для этого электрону необходимо сообщить дополнительную минимальную энергию: | ||
| @@ -40,7 +42,8 @@Решение | |||
| $$E+K_{min}=0$$ | $$E+K_{min}=0$$ | ||
| $$K_{min}=-E=\frac{Ze^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r}$$ | $$K_{min}=-E=\frac{Ze^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r}$$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$K_{min}=\frac{Ze^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r}$$ | $$K_{min}=\frac{Ze^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r}$$ | ||