Решение

Допустим, что мы уже произвели $(n-1)$ раз такую процедуру передачи заряда между шариками. Тогда перед $n$ разом, у нас шарик 2 уже имеет заряд $q_{n-1}$, а шарик 1 вновь восстановил свой заряд до значения $Q$ с помощью электрофорной машины. Суммарный заряд в нашей системе двух заряженных шариков: $(q_{n-1}+Q)$.

Когда шарики соприкасаются, их потенциалы становятся равными. Тогда после соприкосновения заряды распределяются так, чтобы:

$$\varphi_{1}=\varphi_{2}$$
$$\frac{q^{'}}{4\pi\varepsilon_{0}R_{1}}=\frac{q_{n}}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}} \tag{1}$$

где $R_{1}$ и $R_{2}$ соответствующие радиусы шариков 1 и 2.

По закону сохранения заряда:

$$q^{'}+q_{n}=q_{n-1}+Q \tag{2}$$

Выразим из (1) $q^{'}$:

$$q^{'}=\frac{R_{1}}{R_{2}}q_{n}$$

Подставим это выражение в (2):

$$\frac{R_{1}}{R_{2}}q_{n}+q_{n}=q_{n-1}+Q$$

Выразим отсюда $q_{n}$:

$$q_{n}=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}(q_{n-1}+Q)$$

Введём обозначение:

$$k=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$$

Тогда получим такую рекурсию:

$$q_{n}=k\cdot (q_{n-1}+Q) \tag{3}$$

В случае многократного обмена, когда $n\to \infty$ и конечности величины $Q$, можно считать, что $q_{n}\approx q_{n-1}=q_{\infty }$. Наша рекурсия получит вид:

$$q_{\infty }=k\cdot (q_{\infty }+Q)$$

Выразим отсюда $q_{\infty }$:

$$q_{\infty }=\frac{kQ}{1-k} \tag{4}$$

Нам необходимо найти $k$. По условию задачи при первом соприкосновении на шарик 2 перешел заряд $q$, то есть $q_{1}=q$, а до этого шарик 2 не имел заряда, это значит $q_{0}=0$. Подставим эти значения в рекурентную формулу (3):

$$q=k\cdot (0+Q)$$
$$k=\frac{q}{Q}$$

Теперь подставим $k$ в (4):

$$q_{\infty }=\frac{\frac{q}{Q}Q}{1-\frac{q}{Q}}$$
$$q_{\infty }=\frac{qQ}{Q-q}$$