|  | |  |
| | | |
| Плоскости — проводящие и незаряженные. Чтобы учесть их влияние, используем метод зеркальных зарядов. Заменим влияние плоскостей на систему эквивалентной системой из трёх мнимых зарядов: для настоящего заряда $q$, на противоположной стороне плоскостей симметрично ставятся мнимые заряди $−q$ ($II$ и $IV$ четверти). Зеркальным отображением этих мнимых зарядов будет мнимый заряд $q$ в $III$ четверти. Таким образом, мы получаем четыре заряда в вершинах квадрата со стороной $2l$. | | Плоскости — проводящие и незаряженные. Чтобы учесть их влияние, используем метод зеркальных зарядов. Заменим влияние плоскостей на систему эквивалентной системой из трёх мнимых зарядов: для настоящего заряда $q$, на противоположной стороне плоскостей симметрично ставятся мнимые заряди $−q$ ($II$ и $IV$ четверти). Зеркальным отображением этих мнимых зарядов будет мнимый заряд $q$ в $III$ четверти. Таким образом, мы получаем четыре заряда в вершинах квадрата со стороной $2l$. |
| | | |
| Рассчитаем силу, действующую на заряд $q$ от всех других зарядов (смотри рисунок). Сила Кулона $\vec F_{1}$ между зарядом в 1 и 2 четверти в проекции на ось $Y$: | | Рассчитаем силу, действующую на заряд $q$ от всех других зарядов (смотри рисунок). Сила Кулона $\vec F_{1}$ между зарядом в 1 и 2 четверти в проекции на ось $Y$: |
| | | |
| $$F_{1}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q^{2}}{4l^{2}}$$ | | $$F_{1}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q^{2}}{4l^{2}}$$ |
| | | |
| Сила Кулона $\vec F_{2}$ между зарядом в 1 и 4 четверти в проекции на ось $X$: | | Сила Кулона $\vec F_{2}$ между зарядом в 1 и 4 четверти в проекции на ось $X$: |
| | | |
| $$F_{2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q^{2}}{4l^{2}}$$ | | $$F_{2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q^{2}}{4l^{2}}$$ |
| | | |
| Сила Кулона $\vec F_{3}$ между зарядом в 1 и 3 четверти будет действовать вдоль диагонали квадрата под углом $\frac{\pi}{4}$ к осям $X$ и $Y$. Расстояние между этими зарядами равно длине диагонали квадрата: $2l\sqrt{2}$. Модуль силы $\vec F_{3}$: | | Сила Кулона $\vec F_{3}$ между зарядом в 1 и 3 четверти будет действовать вдоль диагонали квадрата под углом $\frac{\pi}{4}$ к осям $X$ и $Y$. Расстояние между этими зарядами равно длине диагонали квадрата: $2l\sqrt{2}$. Модуль силы $\vec F_{3}$: |
| | | |
| $$F_{3}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{q^{2}}{8l^{2}}$$ | | $$F_{3}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{q^{2}}{8l^{2}}$$ |
| | | |
| Распишем эту силу в проекциях на оси координат: | | Распишем эту силу в проекциях на оси координат: |
| | | |
| $$F_{3X}=-F_{3}\cos\frac{\pi}{4}=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q^{2}}{8\sqrt{2}h^{2}}$$ | | $$F_{3X}=-F_{3}\cos\frac{\pi}{4}=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q^{2}}{8\sqrt{2}h^{2}}$$ |
| $$F_{3Y}=-F_{3}\cos\frac{\pi}{4}=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q^{2}}{8\sqrt{2}h^{2}}$$ | | $$F_{3Y}=-F_{3}\cos\frac{\pi}{4}=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q^{2}}{8\sqrt{2}h^{2}}$$ |
| | | |
| Проекция результирующей силы, действующей на заряд $q$, вдоль оси $X$ будет: | | Проекция результирующей силы, действующей на заряд $q$, вдоль оси $X$ будет: |
| | | |
| $$F_{X}=F_{2}+F_{3X}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{q^{2}}{4l^{2}}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{q^{2}}{8\sqrt{2}l^{2}}=\frac{q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}l^{2}}\left( 1-\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)$$ | | $$F_{X}=F_{2}+F_{3X}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{q^{2}}{4l^{2}}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{q^{2}}{8\sqrt{2}l^{2}}=\frac{q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}l^{2}}\left( 1-\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)$$ |
| | | |
| Проекция результирующей силы, действующей на заряд $q$, вдоль оси $Y$ будет: | | Проекция результирующей силы, действующей на заряд $q$, вдоль оси $Y$ будет: |
| | | |
| $$F_{Y}=F_{1}+F_{3Y}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{q^{2}}{4l^{2}}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{q^{2}}{8\sqrt{2}l^{2}}=\frac{q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}l^{2}}\left( 1-\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)$$ | | $$F_{Y}=F_{1}+F_{3Y}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{q^{2}}{4l^{2}}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{q^{2}}{8\sqrt{2}l^{2}}=\frac{q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}l^{2}}\left( 1-\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)$$ |
| | | |
| Модуль результирующей силы будет: | | Модуль результирующей силы будет: |
| | | |
| $$F=\sqrt{F_{X}^{2}+F_{Y}^{2}}=\frac{q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}l^{2}}\left( 1-\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)\sqrt{2}=\frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{32\pi\varepsilon_{0}l^{2}}$$ | | $$F=\sqrt{F_{X}^{2}+F_{Y}^{2}}=\frac{q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}l^{2}}\left( 1-\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)\sqrt{2}=\frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{32\pi\varepsilon_{0}l^{2}}$$ |
| | | |
| Индуцированные заряды на плоскостях компенсируют поле заряда $q$, поэтому электрического поля в областях $II–IV$ нет. | | Индуцированные заряды на плоскостях компенсируют поле заряда $q$, поэтому электрического поля в областях $II–IV$ нет. |
| | | |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| Нет. | | Нет. |
| | | |
| $F=\frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{32\pi\varepsilon_{0}l^{2}}$ | | $F=\frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{32\pi\varepsilon_{0}l^{2}}$ |
