Решение

Пусть $N_{A_{2}}$, $N_{B_{2}}$, $N_{AB}$ - количество молекул вида $A_{2}$, $B_{2}$, $AB$ соответственно.

Общее число атомов $A$: $2N_{A_{2}}+N_{AB}$.

Общее число атомов $B$: $2N_{B_{2}}+N_{AB}$.

По условию задачи число атомов $A$ равно числу атомов $B$:

$$2N_{A_{2}}+N_{AB}=2N_{B_{2}}+N_{AB}$$
$$N_{A_{2}}=N_{B_{2}}$$

Обозначим $N_{A_{2}}=N_{B_{2}}=x$, $N_{AB}=y$.

В задаче нас просят найти:

$$n=\frac{N_{A_{2}}+N_{B_{2}}}{N_{AB}}=\frac{2x}{y} \tag{1}$$

На молекулярном уровне химическое равновесие — это равенство скоростей прямой и обратной реакции. Скорость химической реакции зависит от многих параметров, но при равенстве всех прочих условий, скорость реакции прямо пропорциональна количеству молекул: чем больше молекул в объеме реакционной среды, тем выше вероятность их столкновения, что увеличивает скорость реакции. Это принцип «чаще встречаемся — быстрее реагируем». Так же скорость химической реакции прямо пропорциональна площади эффективного сечения молекул - представляет собой площадь, в рамках которой две молекулы могут взаимодействовать друг с другом. Формула для эффективного сечения двух сферических молекул радиусами $r_{1}$ и $r_{2}$ может быть записана как:

$$\sigma=\pi \cdot (r_{1} + r_{2})^2$$

Отмечу, что скорость реакции обратно пропорциональна массе молекул - чем массивнее молекулы, тем медленнее они могут двигаться, что снижает вероятность столкновения. Но в нашей задаче, по условию, масса молекул одинакова.

Итак, запишем наши соображения математически:

В прямой реакции $A_{2}+B_{2}\to 2AB$ скорость пропорциональна:

$$\upsilon_{1}\sim N_{A_{2}}\cdot N_{B_{2}}\cdot \sigma_{A_{2}B_{2}}$$
$$\upsilon_{1}\sim N_{A_{2}}\cdot N_{B_{2}}\cdot \left( r_{A_{2}}+r_{B_{2}} \right)^{2}=x^{2}\cdot \left( r_{A_{2}}+r_{B_{2}} \right)^{2}$$

В обратной реакции $AB+AB\to A_{2}+B_{2}$ скорость пропорциональна:

$$\upsilon_{2}\sim \frac{1}{2}N_{AB}\cdot N_{AB}\cdot \sigma_{ABAB}$$

Поясню откуда взялся коэффициент $\frac{1}{2}$. При подсчёте вероятности взаимодействия идентичных молекул надо учитывать, что пары молекул не различимы. Это значит, что комбинация молекул F и G (где F и G одинаковы) будет такой же, как G и F. Поэтому для корректного подсчёта нам нужно разделить результат на 2, чтобы избежать двойного учёта одинаковых пар.

Продолжим:

$$\upsilon_{2}\sim \frac{1}{2}N_{AB}^{2}\cdot \left( r_{AB}+r_{AB} \right)^{2}$$
$$\upsilon_{2}\sim 2N_{AB}^{2}\cdot r_{AB}^{2}=2y^{2}\cdot r_{AB}^{2}$$

При химическом равновесии $\upsilon_{1}=\upsilon_{2}$:

$$x^{2}\cdot \left( r_{A_{2}}+r_{B_{2}} \right)^{2}=2y^{2}\cdot r_{AB}^{2}$$
$$\frac{x}{y}=\frac{\sqrt{2}\cdot r_{AB}}{r_{A_{2}}+r_{B_{2}}}$$

Учитывая (1), получим:

$$n=\frac{2x}{y}=\frac{2\sqrt{2}\cdot r_{AB}}{r_{A_{2}}+r_{B_{2}}}$$