Решение

Поскольку удар упругий, сфера неподвижна, а поверхность сферы — гладкая, то при ударах сохраняется модуль скорости шарика и угол падения равен углу отражения. То есть, траектория шарика — хорда внутри сферы, которая симметрично отражается от поверхности сферы. Эта хорда есть основанием равнобедренного треугольника с боковыми сторонами $R$ и углом при вершине: $\pi-2\alpha$. Длину хорды можно найти по теореме косинусов:

$$L=\sqrt{R^{2}+R^{2}-2R^{2}\cos(\pi-2\alpha)}$$
$$L=\sqrt{2R^{2}(1+\cos2\alpha)}$$
$$L=\sqrt{4R^{2}\cos^{2}\alpha}$$
$$L=2R\cos\alpha$$

Время между первым и последующим ударами шарика о сферу:

$$t=\frac{L}{\upsilon}=\frac{2R\cos\alpha}{\upsilon}$$