Правка разделов «Условие», «Решение»
ru/2.4.32.md
+29 −4
| @@ -1,11 +1,36 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $2.4.32.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $2.4.32.$ Докажите, что при абсолютно неупругом ударе происходит наибольшее увеличение суммарной внутренней энергии сталкивающихся тел. Предполагается, что в начальном и конечном состояниях потенциальной энергией взаимодействия тел между собой можно пренебречь. | ||
| ### Решение | |||
| − | ваав | ||
| + | Рассмотрим два тела массами $m_{1}$ и $m_{2}$, движущиеся с начальными скоростями $\vec\upsilon_{1}$ и $\vec\upsilon_{2}$ соответственно. Пусть тела сталкиваются, и в результате удара происходит перераспределение энергии. Потенциальной энергией взаимодействия пренебрегаем как в начале, так и в конце, поэтому разность между кинетической энергией до и после удара перейдёт во внутреннюю энергию (например, в тепло или деформацию). Удар считаем центральным. Пусть после удара скорости тел равны $\vec\upsilon_{1}^{'}$ и $\vec\upsilon_{2}^{'}$ соответственно. | ||
| − | #### Ответ | ||
| + | Наша система замкнута, поэтому в ней применим закон сохранения импульса: | ||
| − | |||
| + | $$m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2}=m_{1}\vec\upsilon_{1}^{'}+m_{2}\vec\upsilon_{2}^{'} \tag{1}$$ | ||
| + | |||
| + | $$m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2}=\vec\upsilon_{1}^{'} \left( m_{1}+m_{2}\frac{\vec\upsilon_{2}^{'}}{\vec\upsilon_{1}^{'}} \right)$$ | ||
| + | |||
| + | Введём переменную $x$: | ||
| + | |||
| + | $$x=\frac{\vec\upsilon_{2}^{'}}{\vec\upsilon_{1}^{'}} \tag{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Тогда выражение для $\vec\upsilon_{1}^{'}$ будет: | ||
| + | |||
| + | $$\vec\upsilon_{1}^{'}=\frac{m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2}}{m_{1}+m_{2}x} \tag{3}$$ | ||
| + | |||
| + | При ударе часть кинетической энергии переходит во внутреннюю. Искомая величина: | ||
| + | |||
| + | $$\Delta E_{вн}=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2}^{2}-\left( \frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{'2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2}^{'2} \right)$$ | ||
| + | |||
| + | Вынесем множитель $\frac{1}{2}\upsilon_{1}^{'2}$ за скобки: | ||
| + | |||
| + | $$\Delta E_{вн}=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2}^{2}-\frac{1}{2}\upsilon_{1}^{'2}\left( m_{1}+m_{2}\frac{\upsilon_{2}^{'2}}{\upsilon_{1}^{'2}} \right)$$ | ||
| + | |||
| + | Подставим выражения (2) и (3): | ||
| + | |||
| + | $$\Delta E_{вн}=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2}^{2}-\frac{1}{2}\left( \frac{m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2}}{m_{1}+m_{2}x} \right)^{2}\left( m_{1}+m_{2}x^{2} \right) \tag{4}$$ | ||
| + | |||
| + | Мы получили функциональную зависимость $\Delta E_{вн}(x)$. Найдём при каком $x$ данная функция имеет максимум. Для этого сначала найдём первую производную и приравняем её к 0, найдём точку экстремума. Потом возьмём вторую производную и в точке экстремума покажем, что она менше 0 - это будет максимум. Дальнейшие выкладки будут чисто математическими, без комментариев. | ||
| + | |||
| @@ -1,11 +1,36 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.4.32.$ [Вставьте условие задачи] | $2.4.32.$ Докажите, что при абсолютно неупругом ударе происходит наибольшее увеличение суммарной внутренней энергии сталкивающихся тел. Предполагается, что в начальном и конечном состояниях потенциальной энергией взаимодействия тел между собой можно пренебречь. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| ваав | Рассмотрим два тела массами $m_{1}$ и $m_{2}$, движущиеся с начальными скоростями $\vec\upsilon_{1}$ и $\vec\upsilon_{2}$ соответственно. Пусть тела сталкиваются, и в результате удара происходит перераспределение энергии. Потенциальной энергией взаимодействия пренебрегаем как в начале, так и в конце, поэтому разность между кинетической энергией до и после удара перейдёт во внутреннюю энергию (например, в тепло или деформацию). Удар считаем центральным. Пусть после удара скорости тел равны $\vec\upsilon_{1}^{'}$ и $\vec\upsilon_{2}^{'}$ соответственно. | ||
| #### Ответ | Наша система замкнута, поэтому в ней применим закон сохранения импульса: | ||
| $$m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2}=m_{1}\vec\upsilon_{1}^{'}+m_{2}\vec\upsilon_{2}^{'} \tag{1}$$ | |||
| $$m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2}=\vec\upsilon_{1}^{'} \left( m_{1}+m_{2}\frac{\vec\upsilon_{2}^{'}}{\vec\upsilon_{1}^{'}} \right)$$ | |||
| Введём переменную $x$: | |||
| $$x=\frac{\vec\upsilon_{2}^{'}}{\vec\upsilon_{1}^{'}} \tag{2}$$ | |||
| Тогда выражение для $\vec\upsilon_{1}^{'}$ будет: | |||
| $$\vec\upsilon_{1}^{'}=\frac{m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2}}{m_{1}+m_{2}x} \tag{3}$$ | |||
| При ударе часть кинетической энергии переходит во внутреннюю. Искомая величина: | |||
| $$\Delta E_{вн}=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2}^{2}-\left( \frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{'2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2}^{'2} \right)$$ | |||
| Вынесем множитель $\frac{1}{2}\upsilon_{1}^{'2}$ за скобки: | |||
| $$\Delta E_{вн}=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2}^{2}-\frac{1}{2}\upsilon_{1}^{'2}\left( m_{1}+m_{2}\frac{\upsilon_{2}^{'2}}{\upsilon_{1}^{'2}} \right)$$ | |||
| Подставим выражения (2) и (3): | |||
| $$\Delta E_{вн}=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2}^{2}-\frac{1}{2}\left( \frac{m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2}}{m_{1}+m_{2}x} \right)^{2}\left( m_{1}+m_{2}x^{2} \right) \tag{4}$$ | |||
| Мы получили функциональную зависимость $\Delta E_{вн}(x)$. Найдём при каком $x$ данная функция имеет максимум. Для этого сначала найдём первую производную и приравняем её к 0, найдём точку экстремума. Потом возьмём вторую производную и в точке экстремума покажем, что она менше 0 - это будет максимум. Дальнейшие выкладки будут чисто математическими, без комментариев. | |||