Правка разделов «Решение», «Закон изменения тока», «Работа батареи»

igor правка от
Посмотреть решение История
правка #14327 предыдущая #13683 ← раньше позже →
ru/11.4.1.md +75 −3
@@ -5,10 +5,82 @@Условие
### Решение
−![|1617x698, 91%](../../img/11.4.1/scan-0.png)
+#### Закон изменения тока
+
+
+Пусть батарею в момент времени $t=0$ подключают к индуктивности. Запишем второе правило Кирхгофа для цепи после замыкания:
+
+$$
+L\frac{di}{dt}=\mathscr E.
+$$
+
+Представим это иначе и проинтегрируем:
+
+\begin{gather}
+di=\frac{\mathscr E}{L}dt,\\\\
+\int di=\frac{\mathscr E}{L}\int dt,\\\\
+i=\frac{\mathscr E}{L}t+C.\tag{1}
+\end{gather}
+
+Постоянная $C$ интегрирования находится из начальных условий по формуле $(1)$, считая, что при $t=0$ ток через катушку $i=0$ (и не может измениться скачком ни в каком случае):
+
+$$
+0=\frac{\mathscr E\cdot0}{L}+C\quad \Rightarrow\quad C=0.
+$$
+
+Итак, закон изменения тока:
+
+$$
+i=\frac{\mathscr E}{L}t.
+$$
+
+
+#### Работа батареи
+
+
+Для источника формула работы в дифференциальной форме такова:
+
+$$
+dA=\mathscr Ei(t)\,dt,
+$$
+
+здесь запись $i(t)$ означает, что ток зависит от времени.
+
+Подставим найденный закон $i(t)$ в предыдущее уравнение и проинтегрируем:
+
+\begin{gather}
+\int dA=\mathscr E\int\frac{\mathscr E}{L}t\,dt,\\\\
+A=\frac{\mathscr E^2}{L}\cdot\frac{t^2}{2}+B.\tag{2}
+\end{gather}
+
+Считая что к моменту $t=0$ источник совершил работу $A=0$, находим постоянную интегрирования $B$ из формулы $(2)$:
+
+$$
+0=\frac{\mathscr E^2}{L}\cdot\frac{0^2}{2}+B\quad \Rightarrow \quad B=0.
+$$
+
+Запишем, чему равна работа $A$ за промежуток времени $\tau$:
+
+$$
+A(\tau)=\frac{\mathscr E^2\tau^2}{2L}.
+$$
+
+Работа источника превращается в энергию магнитного поля катушки.
+
+
#### Литература
−[1] Л. А. Бессонов. «Теоретические основы электротехники» (1996).
−#### Ответ: $i=\dfrac{\mathscr Et}{L}$; $A=\dfrac{\mathscr E^2\tau^2}{2L}$; в энергию магнитного поля.
+[1] Зельдович Я. Б. «Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике» (2010).
+
+
+#### Ответ
+
+$$
+i=\dfrac{\mathscr Et}{L};
+$$
+
+$$
+A=\dfrac{\mathscr E^2\tau^2}{2L};
+$$