Решение

Закон изменения тока

Пусть батарею в момент времени $t=0$ подключают к индуктивности. Запишем второе правило Кирхгофа для цепи после замыкания:

$$L\frac{di}{dt}=\mathscr E.$$

Представим это иначе и проинтегрируем:

\begin{gather} di=\frac{\mathscr E}{L}dt,\\ \int di=\frac{\mathscr E}{L}\int dt,\\ i=\frac{\mathscr Et}{L}+C.\tag{1} \end{gather}

Постоянная $C$ интегрирования находится из начальных условий по формуле $(1)$, считая, что при $t=0$ ток через катушку $i=0$ (и не может измениться скачком ни в каком случае):

$$0=\frac{\mathscr E\cdot0}{L}+C\quad \Rightarrow\quad C=0.$$

Итак, закон изменения тока:

$$i=\frac{\mathscr Et}{L}.$$

Работа батареи

Для источника формула работы в дифференциальной форме такова:

$$dA=\mathscr Ei(t)\,dt,$$

здесь запись $i(t)$ означает, что ток зависит от времени.

Подставим найденный закон $i(t)$ в предыдущее уравнение и проинтегрируем:

\begin{gather} \int dA=\mathscr E\int\frac{\mathscr Et}{L}dt,\\ A=\frac{\mathscr E^2}{L}\cdot\frac{t^2}{2}+B.\tag{2} \end{gather}

Считая что к моменту $t=0$ источник совершил работу $A=0$, находим постоянную интегрирования $B$ из формулы $(2)$:

$$0=\frac{\mathscr E^2}{L}\cdot\frac{0^2}{2}+B\quad \Rightarrow \quad B=0.$$

Запишем, чему равна работа $A$ за промежуток времени $\tau$:

$$A=\frac{\mathscr E^2\tau^2}{2L}.$$

Работа источника превращается в энергию магнитного поля катушки.