Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/3.3.12.md
+26 −3
| @@ -1,11 +1,34 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $3.3.12.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $3.3.12.$ Один конец пружины прикреплен к стене, на втором — шарик, колеблющийся с амплитудой $A$ и периодом $T_{0}$. На каком расстоянии от положения равновесия шарика нужно поставить плиту, чтобы период его колебаний стал равным $T$? Удары шарика о плиту абсолютно упругие. | ||
| + |  | ||
| + | |||
| ### Решение | |||
| − | sdf | ||
| + | Если поставить плиту на расстоянии $l$ от положения равновесия, тогда движение шарика происходит в диапазоне от $-A$ до $+l$. В точке $+l$ шарик упруго ударяется: модуль скорости остаётся прежним, а направление скорости меняется на противоположное. Шарик после удара движется от $+l$ до $-A$. Получается колебательное движение с периодом $T=2t$, где $t$ - это время движения шарика от точки $-A$ до $+l$. | ||
| + | Без плиты шарик совершает гармонические колебания. Если принять, что в нулевой момент времени, его координата равна $-A$, а скорость равна 0, то уравнение движения шарика можно записать так: | ||
| + | |||
| + | $$x=-A\cos\omega t=A\cos(\pi-\omega t)$$ | ||
| + | |||
| + | где $\omega=\frac{2\pi}{T_{0}}$ частота колебаний. | ||
| + | |||
| + | Найдём момент времени, когда координата шарика станет равной $l$: | ||
| + | |||
| + | $$l=A\cos\left( \pi-\frac{2\pi}{T_{0}} t \right)$$ | ||
| + | $$\pi-\frac{2\pi}{T_{0}} t=\arccos\frac{l}{A}$$ | ||
| + | $$t=\frac{T_{0}}{2\pi}\left( \pi-\arccos\frac{l}{A} \right)$$ | ||
| + | |||
| + | Но новый период, как указывалось выше, $T=2t$: | ||
| + | |||
| + | $$T=\frac{2T_{0}}{2\pi}\left( \pi-\arccos\frac{l}{A} \right)=\frac{T_{0}}{\pi}\left( \pi-\arccos\frac{l}{A} \right)$$ | ||
| + | |||
| + | Выразим отсюда $l$: | ||
| + | |||
| + | $$\arccos\frac{l}{A}=\pi-\frac{\pi T}{T_{0}}=\pi\left( 1-\frac{T}{T_{0}} \right)$$ | ||
| + | $$l=A\cos\left[ \pi\left( 1-\frac{T}{T_{0}} \right) \right]$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $$l=A\cos\left[ \pi\left( 1-\frac{T}{T_{0}} \right) \right]$$ | ||
| @@ -1,11 +1,34 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.3.12.$ [Вставьте условие задачи] | $3.3.12.$ Один конец пружины прикреплен к стене, на втором — шарик, колеблющийся с амплитудой $A$ и периодом $T_{0}$. На каком расстоянии от положения равновесия шарика нужно поставить плиту, чтобы период его колебаний стал равным $T$? Удары шарика о плиту абсолютно упругие. | ||
|  | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| sdf | Если поставить плиту на расстоянии $l$ от положения равновесия, тогда движение шарика происходит в диапазоне от $-A$ до $+l$. В точке $+l$ шарик упруго ударяется: модуль скорости остаётся прежним, а направление скорости меняется на противоположное. Шарик после удара движется от $+l$ до $-A$. Получается колебательное движение с периодом $T=2t$, где $t$ - это время движения шарика от точки $-A$ до $+l$. | ||
| Без плиты шарик совершает гармонические колебания. Если принять, что в нулевой момент времени, его координата равна $-A$, а скорость равна 0, то уравнение движения шарика можно записать так: | |||
| $$x=-A\cos\omega t=A\cos(\pi-\omega t)$$ | |||
| где $\omega=\frac{2\pi}{T_{0}}$ частота колебаний. | |||
| Найдём момент времени, когда координата шарика станет равной $l$: | |||
| $$l=A\cos\left( \pi-\frac{2\pi}{T_{0}} t \right)$$ | |||
| $$\pi-\frac{2\pi}{T_{0}} t=\arccos\frac{l}{A}$$ | |||
| $$t=\frac{T_{0}}{2\pi}\left( \pi-\arccos\frac{l}{A} \right)$$ | |||
| Но новый период, как указывалось выше, $T=2t$: | |||
| $$T=\frac{2T_{0}}{2\pi}\left( \pi-\arccos\frac{l}{A} \right)=\frac{T_{0}}{\pi}\left( \pi-\arccos\frac{l}{A} \right)$$ | |||
| Выразим отсюда $l$: | |||
| $$\arccos\frac{l}{A}=\pi-\frac{\pi T}{T_{0}}=\pi\left( 1-\frac{T}{T_{0}} \right)$$ | |||
| $$l=A\cos\left[ \pi\left( 1-\frac{T}{T_{0}} \right) \right]$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $$l=A\cos\left[ \pi\left( 1-\frac{T}{T_{0}} \right) \right]$$ | ||