Решение

Проведем рассуждения для произвольного контура, проходящего внутри стенки цилиндра перепендикулярно его оси (вдали от торцов цилиндра). По закону электромагнитной индукции

$$\mathscr E_i=-\frac{d\Phi}{dt},\tag{1}$$

где $\mathscr E_i$ есть ЭДС индукции вихревого электрического поля, создаваемого изменением полного(!) магнитного потока $\Phi$ через контур.

Для нашего контура с учетом длинности цилиндра имеем

$$d\Phi=S\,dB,\tag{2}$$

где $S$ есть площадь охвата контура, $B$ есть индукция магнитного поля в цилиндре (магнитное поле внутри цилиндра однородное).

ЭДС $\mathscr E_i$ будет разгонять электроны в стенках цилиндра [1]:

$$\mathscr E_i=E_i\cdot2\pi r=\frac{F_i}{e}\cdot2\pi r=\frac{m_e\,dv}{e\,dt}\cdot2\pi r;$$

здесь $E_i$ есть напряженность индуцированного электрического поля в стенке цилиндра, $r$ есть радиус цилиндра, $F_i$ есть сила, действующая на электрон со стороны поля $E_i$.

Будем считать, что за приращение времени $dt$ электроны получают прирост скорости $dv=r\,d\omega$. То есть электроны не отстают от вращения положительных ионов.

Тогда

$$\mathscr E_i=\frac{m_er\,d\omega}{e\,dt}\cdot2\pi r.\tag{3}$$

Подставляем $(3)$ и $(2)$ в $(1)$ и после сокращений получаем:

$$\frac{2m_e}{e}d\omega=-dB$$

Интегрируем это и получаем:

$$\frac{2m_e}{e}\omega=-B+C.$$

Константа $C$ интегрирования находится из условия, что, когда $\omega=0$, то и $B=0$; то есть $C=0$.

Итак, с точностью до знака

$$B=\frac{2m_e}{e}\omega.$$