| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $11.5.28^*.$ Если длинный идеально проводящий тонкостенный цилиндр раскрутить вокруг своей оси, то внутри цилиндра возникает магнитное поле. Найдите его индукцию, если угловая скорость цилиндра $\omega$. | | $11.5.28^*.$ Если длинный идеально проводящий тонкостенный цилиндр раскрутить вокруг своей оси, то внутри цилиндра возникает магнитное поле. Найдите его индукцию, если угловая скорость цилиндра $\omega$. |
| | | |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| | | |
| Проведем рассуждения для произвольного контура, проходящего внутри стенки цилиндра перепендикулярно его оси (вдали от торцов цилиндра). По закону электромагнитной индукции | | Проведем рассуждения для произвольного контура, проходящего внутри стенки цилиндра перепендикулярно его оси (вдали от торцов цилиндра). По закону электромагнитной индукции |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \mathscr E_i=-\frac{d\Phi}{dt},\tag{1} | | \mathscr E_i=-\frac{d\Phi}{dt},\tag{1} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $\mathscr E_i$ есть ЭДС индукции вихревого электрического поля, создаваемого изменением полного(!) магнитного потока $\Phi$ через контур. | | где $\mathscr E_i$ есть ЭДС индукции вихревого электрического поля, создаваемого изменением полного(!) магнитного потока $\Phi$ через контур. |
| | | |
| Для нашего контура с учетом длинности цилиндра имеем | | Для нашего контура с учетом длинности цилиндра имеем |
| | | |
| $$ | | $$ |
| d\Phi=S\,dB,\tag{2} | | d\Phi=S\,dB,\tag{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $S$ есть площадь охвата контура, $B$ есть индукция магнитного поля в цилиндре (магнитное поле внутри цилиндра однородное). | | где $S$ есть площадь охвата контура, $B$ есть индукция магнитного поля в цилиндре (магнитное поле внутри цилиндра однородное). |
| | | |
| ЭДС $\mathscr E_i$ будет разгонять электроны в стенках цилиндра [1]: | | ЭДС $\mathscr E_i$ будет разгонять электроны в стенках цилиндра [1]: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \mathscr E_i=E_i\cdot2\pi r=\frac{F_i}{e}\cdot2\pi r=\frac{m_e\,dv}{e\,dt}\cdot2\pi r; | | \mathscr E_i=E_i\cdot2\pi r=\frac{F_i}{e}\cdot2\pi r=\frac{m_e\,dv}{e\,dt}\cdot2\pi r; |
| $$ | | $$ |
| | | |
| здесь $E_i$ есть напряженность индуцированного электрического поля в стенке цилиндра, $r$ есть радиус цилиндра, $F_i$ есть сила, действующая на электрон со стороны поля $E_i$. | | здесь $E_i$ есть напряженность индуцированного электрического поля в стенке цилиндра, $r$ есть радиус цилиндра, $F_i$ есть сила, действующая на электрон со стороны поля $E_i$. |
| | | |
| Будем считать, что за приращение времени $dt$ электроны получают прирост скорости $dv=r\,d\omega$. То есть электроны не отстают от вращения положительных ионов. | | Будем считать, что за приращение времени $dt$ электроны получают прирост скорости $dv=r\,d\omega$. То есть электроны не отстают от вращения положительных ионов. |
| | | |
| Тогда | | Тогда |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \mathscr E_i=\frac{m_er\,d\omega}{e\,dt}\cdot2\pi r.\tag{3} | | \mathscr E_i=\frac{m_er\,d\omega}{e\,dt}\cdot2\pi r.\tag{3} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Подставляем $(3)$ и $(2)$ в $(1)$ и после сокращений получаем: | | Подставляем $(3)$ и $(2)$ в $(1)$ и после сокращений получаем: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{2m_e}{e}d\omega=-dB | | \frac{2m_e}{e}d\omega=-dB |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Интегрируем это и получаем: | | Интегрируем это и получаем: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{2m_e}{e}\omega=-B+C. | | \frac{2m_e}{e}\omega=-B+C. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Константа $C$ интегрирования находится из условия, что, когда $\omega=0$, то и $B=0$; то есть $C=0$. | | Константа $C$ интегрирования находится из условия, что, когда $\omega=0$, то и $B=0$; то есть $C=0$. |
| | | |
| Итак, с точностью до знака | | Итак, с точностью до знака |
| | | |
| $$ | | $$ |
