Решение

На частицу действует сила Лоренца и сила $F$. Запишем уравнение движения частицы по второму закону Ньютона в векторной форме:

$$m\frac{d \vec \upsilon}{dt}=q\left[ \vec \upsilon\times \vec B \right]+ \vec F$$

Представим скорость частицы как векторную сумму скоростей:

$$\vec \upsilon(t)=\vec \upsilon_{др}+\vec \upsilon_{вр}(t)$$

где $\vec \upsilon_{др}$ - постоянная скорость дрейфа (не зависит от времени);

$\vec \upsilon_{вр}(t)$ - переменная составляющая, описывающая вращательное (циклическое) движение.

Подставим это разложение в уравнение движения, с учётом того, что $\frac{d \vec \upsilon_{др}}{dt}=0$:

$$m\frac{d \vec \upsilon_{вр}}{dt}=q\left[ \left( \vec \upsilon_{др}+\vec \upsilon_{вр} \right) \times \vec B \right]+ \vec F$$

Преобразуем к виду:

$$m\frac{d \vec \upsilon_{вр}}{dt}=q\left[ \vec \upsilon_{вр} \times \vec B \right]+ \left( q\left[ \vec \upsilon_{др} \times \vec B \right]+ \vec F \right)$$

Чтобы $\vec \upsilon_{вр}(t)$ описывало чисто вращательное движение (без ускорения из-за силы $\vec F$), нужно, чтобы постоянный дрейф устранял действие силы:

$$q\left[ \vec \upsilon_{др} \times \vec B \right]+ \vec F=0$$

Другими словами мы можем перейти в такую систему отсчёта, которая движется относительно первоначальной со скоростью $\vec \upsilon_{др}$, что в ней частица будет только вращаться под действием магнитного поля.

Перепишем последнее уравнение в виде:

$$q\left[ \vec \upsilon_{др} \times \vec B \right]= - \vec F$$

Домножим векторно слева на вектор $\vec B$:

$$q \left[ \vec B \times \left[ \vec \upsilon_{др} \times \vec B \right] \right]= - \left[ \vec B \times \vec F \right] \tag{1}$$

Теперь воспользуемся двумя свойствами векторного произведения:

1. Антикоммутативность: $- \left[ \vec B \times \vec F \right] = \left[ \vec F \times \vec B \right]$

2. Тождество Лагранжа: $\left[ \vec B \times \left[ \vec \upsilon_{др} \times \vec B \right] \right]= \vec \upsilon_{др}(\vec B\cdot \vec B)-\vec B(\vec B\cdot \vec \upsilon_{др})$

Тогда выражение (1) можна переписать следующим образом:

$$q \vec \upsilon_{др}(\vec B\cdot \vec B)-q\vec B(\vec B\cdot \vec \upsilon_{др})=\left[ \vec F \times \vec B \right]$$

Скалярные произведения $(\vec B\cdot \vec B)=B^{2}$ и вектор скорости дрейфа перпендикулярен вектору магнитной индукции $(\vec B\cdot \vec \upsilon_{др})=0$. С учётом этого получим:

$$q \vec \upsilon_{др}B^{2}=\left[ \vec F \times \vec B \right]$$
$$\vec \upsilon_{др}=\frac{\left[ \vec F \times \vec B \right]}{qB^{2}}$$

Итак, скорость дрейфа