Подставим это разложение в уравнение движения, с учётом того, что $\frac{d \vec\upsilon_{др}}{dt}=0$:
$$m\frac{d \vec\upsilon_{вр}}{dt}=q\left[ \left( \vec\upsilon_{др}+\vec\upsilon_{вр}\right) \times\vec B \right]+ \vec F$$
Преобразуем к виду:
$$m\frac{d \vec\upsilon_{вр}}{dt}=q\left[ \vec\upsilon_{вр}\times\vec B \right]+ \left( q\left[ \vec\upsilon_{др}\times\vec B \right]+ \vec F \right)$$
Чтобы $\vec\upsilon_{вр}(t)$ описывало чисто вращательное движение (без ускорения из-за силы $\vec F$), нужно, чтобы постоянный дрейф устранял действие силы:
$$q\left[ \vec\upsilon_{др}\times\vec B \right]+ \vec F=0$$
Другими словами мы можем перейти в такую систему отсчёта, которая движется относительно первоначальной со скоростью $\vec\upsilon_{др}$, что в ней частица будет только вращаться под действием магнитного поля.
Перепишем последнее уравнение в виде:
$$q\left[ \vec\upsilon_{др}\times\vec B \right]= - \vec F$$
Домножим векторно слева на вектор $\vec B$:
$$q \left[ \vec B \times\left[ \vec\upsilon_{др}\times\vec B \right] \right]= - \left[ \vec B \times\vec F \right] \tag{1}$$
Теперь воспользуемся двумя свойствами векторного произведения:
1. Антикоммутативность: $- \left[ \vec B \times\vec F \right] = \left[ \vec F \times\vec B \right]$
2. Тождество Лагранжа: $\left[ \vec B \times\left[ \vec\upsilon_{др}\times\vec B \right] \right]= \vec\upsilon_{др}(\vec B\cdot\vec B)-\vec B(\vec B\cdot\vec\upsilon_{др})$
Тогда выражение (1) можна переписать следующим образом:
$$q \vec\upsilon_{др}(\vec B\cdot\vec B)-q\vec B(\vec B\cdot\vec\upsilon_{др})=\left[ \vec F \times\vec B \right]$$
Скалярные произведения $(\vec B\cdot\vec B)=B^{2}$ и вектор скорости дрейфа перпендикулярен вектору магнитной индукции $(\vec B\cdot\vec\upsilon_{др})=0$. С учётом этого получим:
@@ -53,8 +53,14 @@Решение
$$q \vec\upsilon_{др}B^{2}=\left[ \vec F \times\vec B \right]$$
$$\vec\upsilon_{др}=\frac{\left[ \vec F \times\vec B \right]}{qB^{2}}$$
−
Итак, скорость дрейфа
+
Итак, скорость дрейфа частицы направлена перпендикулярно к вектору силы и вектору магнитной индукции и зависит от знака заряда частицы. Скорости дрейфа положительных и отрицательных частиц будут направлены в противоположные стороны.
+
+
По условию задачи поле постоянной силы $\vec F$ перпендикулярно магнитном полю индукции $\vec B$, тогда модуль скорости дрейфа можно записать так:
Подставим это разложение в уравнение движения, с учётом того, что $\frac{d \vec\upsilon_{др}}{dt}=0$:
Подставим это разложение в уравнение движения, с учётом того, что $\frac{d \vec\upsilon_{др}}{dt}=0$:
$$m\frac{d \vec\upsilon_{вр}}{dt}=q\left[ \left( \vec\upsilon_{др}+\vec\upsilon_{вр}\right) \times\vec B \right]+ \vec F$$
$$m\frac{d \vec\upsilon_{вр}}{dt}=q\left[ \left( \vec\upsilon_{др}+\vec\upsilon_{вр}\right) \times\vec B \right]+ \vec F$$
Преобразуем к виду:
Преобразуем к виду:
$$m\frac{d \vec\upsilon_{вр}}{dt}=q\left[ \vec\upsilon_{вр}\times\vec B \right]+ \left( q\left[ \vec\upsilon_{др}\times\vec B \right]+ \vec F \right)$$
$$m\frac{d \vec\upsilon_{вр}}{dt}=q\left[ \vec\upsilon_{вр}\times\vec B \right]+ \left( q\left[ \vec\upsilon_{др}\times\vec B \right]+ \vec F \right)$$
Чтобы $\vec\upsilon_{вр}(t)$ описывало чисто вращательное движение (без ускорения из-за силы $\vec F$), нужно, чтобы постоянный дрейф устранял действие силы:
Чтобы $\vec\upsilon_{вр}(t)$ описывало чисто вращательное движение (без ускорения из-за силы $\vec F$), нужно, чтобы постоянный дрейф устранял действие силы:
$$q\left[ \vec\upsilon_{др}\times\vec B \right]+ \vec F=0$$
$$q\left[ \vec\upsilon_{др}\times\vec B \right]+ \vec F=0$$
Другими словами мы можем перейти в такую систему отсчёта, которая движется относительно первоначальной со скоростью $\vec\upsilon_{др}$, что в ней частица будет только вращаться под действием магнитного поля.
Другими словами мы можем перейти в такую систему отсчёта, которая движется относительно первоначальной со скоростью $\vec\upsilon_{др}$, что в ней частица будет только вращаться под действием магнитного поля.
Перепишем последнее уравнение в виде:
Перепишем последнее уравнение в виде:
$$q\left[ \vec\upsilon_{др}\times\vec B \right]= - \vec F$$
$$q\left[ \vec\upsilon_{др}\times\vec B \right]= - \vec F$$
Домножим векторно слева на вектор $\vec B$:
Домножим векторно слева на вектор $\vec B$:
$$q \left[ \vec B \times\left[ \vec\upsilon_{др}\times\vec B \right] \right]= - \left[ \vec B \times\vec F \right] \tag{1}$$
$$q \left[ \vec B \times\left[ \vec\upsilon_{др}\times\vec B \right] \right]= - \left[ \vec B \times\vec F \right] \tag{1}$$
Теперь воспользуемся двумя свойствами векторного произведения:
Теперь воспользуемся двумя свойствами векторного произведения:
1. Антикоммутативность: $- \left[ \vec B \times\vec F \right] = \left[ \vec F \times\vec B \right]$
1. Антикоммутативность: $- \left[ \vec B \times\vec F \right] = \left[ \vec F \times\vec B \right]$
2. Тождество Лагранжа: $\left[ \vec B \times\left[ \vec\upsilon_{др}\times\vec B \right] \right]= \vec\upsilon_{др}(\vec B\cdot\vec B)-\vec B(\vec B\cdot\vec\upsilon_{др})$
2. Тождество Лагранжа: $\left[ \vec B \times\left[ \vec\upsilon_{др}\times\vec B \right] \right]= \vec\upsilon_{др}(\vec B\cdot\vec B)-\vec B(\vec B\cdot\vec\upsilon_{др})$
Тогда выражение (1) можна переписать следующим образом:
Тогда выражение (1) можна переписать следующим образом:
$$q \vec\upsilon_{др}(\vec B\cdot\vec B)-q\vec B(\vec B\cdot\vec\upsilon_{др})=\left[ \vec F \times\vec B \right]$$
$$q \vec\upsilon_{др}(\vec B\cdot\vec B)-q\vec B(\vec B\cdot\vec\upsilon_{др})=\left[ \vec F \times\vec B \right]$$
Скалярные произведения $(\vec B\cdot\vec B)=B^{2}$ и вектор скорости дрейфа перпендикулярен вектору магнитной индукции $(\vec B\cdot\vec\upsilon_{др})=0$. С учётом этого получим:
Скалярные произведения $(\vec B\cdot\vec B)=B^{2}$ и вектор скорости дрейфа перпендикулярен вектору магнитной индукции $(\vec B\cdot\vec\upsilon_{др})=0$. С учётом этого получим:
@@ -53,8 +53,14 @@Решение
$$q \vec\upsilon_{др}B^{2}=\left[ \vec F \times\vec B \right]$$
$$q \vec\upsilon_{др}B^{2}=\left[ \vec F \times\vec B \right]$$
$$\vec\upsilon_{др}=\frac{\left[ \vec F \times\vec B \right]}{qB^{2}}$$
$$\vec\upsilon_{др}=\frac{\left[ \vec F \times\vec B \right]}{qB^{2}}$$
Итак, скорость дрейфа
Итак, скорость дрейфа частицы направлена перпендикулярно к вектору силы и вектору магнитной индукции и зависит от знака заряда частицы. Скорости дрейфа положительных и отрицательных частиц будут направлены в противоположные стороны.
По условию задачи поле постоянной силы $\vec F$ перпендикулярно магнитном полю индукции $\vec B$, тогда модуль скорости дрейфа можно записать так:
