Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

Ismail правка от
Посмотреть решение История
правка #14415 предыдущая #14414 ← раньше позже →
ru/2.6.46.md +74 −3
@@ -1,11 +1,82 @@
### Условие
−$2.6.46.$ [Вставьте условие задачи]
+$2.6.46.$ Спутник движется вокруг планеты массы $M$ по эллипсу
+с большой и малой полуосями $a$ и $b$.
+Определите площадь, которую радиус-вектор, проведенный из центра планеты к спутнику, «заметает» в
+единицу времени. Найдите период обращения спутника.
+![К задаче $2.6.46$|267x226, 50%](../../img/2.6.46/2.6.46.PNG)
### Решение
+Разделим эллипс на маленькие треугоники, один из катетов которого это радиус-вектор, другой путь мпутника за малый промежуток времени. в таких масштабах путь будет прямой:
+$$
+dS=\frac{rx}{2}
+$$
−$e$
+$$
+x=vsin\alpha dt
+$$
+Где угол $\alpha$ это угол между вектором скорости и радиус-вектором.
+$$
+\frac{dS}{dt}=\frac{vrsin\alpha}{2}
+$$
+Известно, что при нулевом моменте сил, момент импульса постоянен:
+$$
+L=mvrsin\alpha=const
+$$
+Следовательно:
+$$
+\frac{dS}{dt}=\frac{L}{2m}=const
+$$
+Геометрия эллипса, расписанная через апогей и перигей:
+$$
+2a=r_a+r_p
+$$
+$$
+b^2=r_ar_p
+$$
+Момент импульса в апогее:
+$$
+L=mur_a
+$$
+ Энергия в апогее, которая равна энегрии при движении по эллипсу:
+$$
+\frac{mu^2}{2}-\frac{\gamma Mm}{r_a}=-\frac{\gamma Mm}{2a}
+$$
+
+$$
+\frac{u^2}{2}=\frac{\gamma M(2a-r_a)}{2ar_a}
+$$
+
+$$
+u^2r_a=\frac{\gamma Mr_p}{a}
+$$
+
+$$
+u^2r_a^2=\frac{\gamma Mr_ar_p}{a}=\frac{\gamma Mb^2}{a}
+$$
+Получаем ответ:
+$$
+\boxed{\frac{dS}{dt}=\frac{b}{2}\sqrt{\frac{\gamma M}{a}}}
+$$
+Т.к. скорость покрытия площади постоянна, средняя скорсть покрытия тоже равна ей:
+$$
+\frac{S}{T}=\frac{dS}{dt}
+$$
+
+$$
+\frac{\pi ab}{T}=\frac{b}{2}\sqrt{\frac{\gamma M}{a}}
+$$
+Получаем ответ:
+$$
+\boxed{T=2\pi\frac{a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\gamma M}}}
+$$
+
#### Ответ
+$$
+\frac{dS}{dt}=\frac{b}{2}\sqrt{\frac{\gamma M}{a}}
+$$
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$
+T=2\pi\frac{a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\gamma M}}
+$$