Решение

По условию задачи мы пренебрегаем массой поршня - это означает, что мы пренебрегаем изменением потенциальной энергией поршня; пренебрегаем трением - это означает, что при перемещении поршня не надо затрачивать работу на преодоление сил трения; пренебрегаем теплопроводностью поршня - это означает, что потери тепла через поршень отсутствуют. Бассейн широкий - это означает, что уровень воды в бассейне всегда находится на одном уровне во время выталкивания воды из цилиндра. В задаче не задано давление над поверхностью воды в бассейне, поэтому будем считать, что оно отсутствует.

Запишем первое начало термодинамики:

$$Q=\Delta U+A \tag{1}$$

Изменение внутренней энергии определяется разностью температур начального и конечного состояния. Гелий одноатомный газ и для 1 моля газа изменение внутренней энергии определится формулой:

$$\Delta U=\frac{3}{2}R(T_{к}-T_{н}) \tag{2}$$

В первоначальном состоянии объём газа в цилиндре составлял: $V_{н}=2hS$. Давление газа равно гидростатическому давлению воды: $P_{н}=2\rho gh$. Согласно уравнению Менделеева-Клайперона для 1 моля газа:

$$P_{н}V_{н}=RT_{н}$$
$$2\rho gh\cdot 2hS=RT_{н} \Longrightarrow T_{н}=\frac{4\rho gSh^{2}}{R} \tag{3}$$

В конечном состоянии объём газа в цилиндре будет: $V_{к}=3hS$. Давление газа будет равно гидростатическому давлению воды: $P_{к}=3\rho gh$. Согласно уравнению Менделеева-Клайперона для 1 моля газа:

$$P_{к}V_{к}=RT_{к}$$
$$3\rho gh\cdot 3hS=RT_{к} \Longrightarrow T_{к}=\frac{9\rho gSh^{2}}{R} \tag{4}$$

Подставим (3) и (4) в (2):

$$\Delta U=\frac{3}{2}R(\frac{9\rho gSh^{2}}{R}-\frac{4\rho gSh^{2}}{R})=\frac{15}{2}\rho gSh^{2} \tag{5}$$

Работа газа против силы гидростатического давления при увеличении объёма газа от $V_{н}$ до $V_{к}$:

$$A=\int_{V_{н}}^{V_{к}}PdV$$

Давление газа уравновешивается гидростатическим давлением воды. Если $x$ - высота столба жидкости над уровнем поршня, то давление газа будет: $P=\rho gx$. Изменение объёма газа при перемещении поршня на малое расстояние $dx$ будет: $dV=Sdx$. Вычислим работу:

$$A=\int_{2h}^{3h}\rho gSxdx=\frac{\rho gS}{2}\left[ x^{2} \right]_{2h}^{3h}=\frac{\rho gS}{2}\left( 9h^{2}-4h^{2} \right)=\frac{5}{2}\rho gSh^{2} \tag{6}$$

Подставим (5) и (6) в (1):

$$Q=\frac{15}{2}\rho gSh^{2}+\frac{5}{2}\rho gSh^{2}=10\rho gSh^{2}$$