Правка раздела «Условие»
ru/13.3.6.md
+1 −1
| @@ -1,8 +1,8 @@ | |||
| ### Условие | |||
| $13.3.6.$ Предмет в виде отрезка длины $l$ расположен вдоль оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием $f$, дающей действительное изображение всех его точек. Середина отрезка расположена на расстоянии $a$ от линзы. Определите продольное увеличение предмета. | |||
| − |  | ||
| ### Решение | |||
| В соответствии с рисунком расстояние от левого конца предмета до линзы будет: | |||
| $$a_{1}=a+\frac{l}{2} \tag{1}$$ | |||
| Расстояние от правого конца предмета до линзы будет: | |||
| $$a_{2}=a-\frac{l}{2} \tag{2}$$ | |||
| По формуле тонкой линзы найдём расстояния между линзой и изображениями этих концов предмета: | |||
| $$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{b_{1}}=\frac{1}{f}$$ | |||
| $$b_{1}=\frac{a_{1}f}{a_{1}-f} \tag{3}$$ | |||
| Аналогично для $b_{2}$: | |||
| $$b_{2}=\frac{a_{2}f}{a_{2}-f} \tag{4}$$ | |||
| Так как $a_{1}\gt a_{2}$, то $b_{2}\gt b_{1}$. | |||
| Продольное увеличение предмета по определению: | |||
| $$k=\frac{b_{2}-b_{1}}{l} \tag{5}$$ | |||
| Подставим (1) в (3) и найдём $b_{1}$: | |||
| $$b_{1}=\frac{(a+\frac{l}{2})f}{(a-f)+\frac{l}{2}}$$ | |||
| Подставим (2) в (4) и найдём $b_{2}$: | |||
| $$b_{2}=\frac{(a-\frac{l}{2})f}{(a-f)-\frac{l}{2}}$$ | |||
| Подставим выражения для $b_{1}$ и $b_{2}$ в формулу (5): | |||
| $$k=\frac{1}{l}\cdot \left( \frac{(a-\frac{l}{2})f}{(a-f)-\frac{l}{2}}-\frac{(a+\frac{l}{2})f}{(a-f)+\frac{l}{2}} \right)$$ | |||
| Приводим к общему знаменателю и упрощаем: | |||
| $$k=\frac{f}{l}\cdot \frac{(a-\frac{l}{2})(a+\frac{l}{2})-f(a-\frac{l}{2})-(a-\frac{l}{2})(a+\frac{l}{2})+f(a+\frac{l}{2})}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$ | |||
| $$k=\frac{f}{l}\cdot \frac{-f(a-\frac{l}{2})+f(a+\frac{l}{2})}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$ | |||
| $$k=\frac{f}{l}\cdot \frac{fl}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$ | |||
| Окончательно: | |||
| $$k=\frac{f^{2}}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$ | |||
| #### Ответ | |||
| $$k=\frac{f^{2}}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$ | |||
| ещё строк без изменений 48 | |||
| @@ -1,8 +1,8 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $13.3.6.$ Предмет в виде отрезка длины $l$ расположен вдоль оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием $f$, дающей действительное изображение всех его точек. Середина отрезка расположена на расстоянии $a$ от линзы. Определите продольное увеличение предмета. | $13.3.6.$ Предмет в виде отрезка длины $l$ расположен вдоль оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием $f$, дающей действительное изображение всех его точек. Середина отрезка расположена на расстоянии $a$ от линзы. Определите продольное увеличение предмета. | ||
|  | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| В соответствии с рисунком расстояние от левого конца предмета до линзы будет: | В соответствии с рисунком расстояние от левого конца предмета до линзы будет: | ||
| $$a_{1}=a+\frac{l}{2} \tag{1}$$ | $$a_{1}=a+\frac{l}{2} \tag{1}$$ | ||
| Расстояние от правого конца предмета до линзы будет: | Расстояние от правого конца предмета до линзы будет: | ||
| $$a_{2}=a-\frac{l}{2} \tag{2}$$ | $$a_{2}=a-\frac{l}{2} \tag{2}$$ | ||
| По формуле тонкой линзы найдём расстояния между линзой и изображениями этих концов предмета: | По формуле тонкой линзы найдём расстояния между линзой и изображениями этих концов предмета: | ||
| $$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{b_{1}}=\frac{1}{f}$$ | $$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{b_{1}}=\frac{1}{f}$$ | ||
| $$b_{1}=\frac{a_{1}f}{a_{1}-f} \tag{3}$$ | $$b_{1}=\frac{a_{1}f}{a_{1}-f} \tag{3}$$ | ||
| Аналогично для $b_{2}$: | Аналогично для $b_{2}$: | ||
| $$b_{2}=\frac{a_{2}f}{a_{2}-f} \tag{4}$$ | $$b_{2}=\frac{a_{2}f}{a_{2}-f} \tag{4}$$ | ||
| Так как $a_{1}\gt a_{2}$, то $b_{2}\gt b_{1}$. | Так как $a_{1}\gt a_{2}$, то $b_{2}\gt b_{1}$. | ||
| Продольное увеличение предмета по определению: | Продольное увеличение предмета по определению: | ||
| $$k=\frac{b_{2}-b_{1}}{l} \tag{5}$$ | $$k=\frac{b_{2}-b_{1}}{l} \tag{5}$$ | ||
| Подставим (1) в (3) и найдём $b_{1}$: | Подставим (1) в (3) и найдём $b_{1}$: | ||
| $$b_{1}=\frac{(a+\frac{l}{2})f}{(a-f)+\frac{l}{2}}$$ | $$b_{1}=\frac{(a+\frac{l}{2})f}{(a-f)+\frac{l}{2}}$$ | ||
| Подставим (2) в (4) и найдём $b_{2}$: | Подставим (2) в (4) и найдём $b_{2}$: | ||
| $$b_{2}=\frac{(a-\frac{l}{2})f}{(a-f)-\frac{l}{2}}$$ | $$b_{2}=\frac{(a-\frac{l}{2})f}{(a-f)-\frac{l}{2}}$$ | ||
| Подставим выражения для $b_{1}$ и $b_{2}$ в формулу (5): | Подставим выражения для $b_{1}$ и $b_{2}$ в формулу (5): | ||
| $$k=\frac{1}{l}\cdot \left( \frac{(a-\frac{l}{2})f}{(a-f)-\frac{l}{2}}-\frac{(a+\frac{l}{2})f}{(a-f)+\frac{l}{2}} \right)$$ | $$k=\frac{1}{l}\cdot \left( \frac{(a-\frac{l}{2})f}{(a-f)-\frac{l}{2}}-\frac{(a+\frac{l}{2})f}{(a-f)+\frac{l}{2}} \right)$$ | ||
| Приводим к общему знаменателю и упрощаем: | Приводим к общему знаменателю и упрощаем: | ||
| $$k=\frac{f}{l}\cdot \frac{(a-\frac{l}{2})(a+\frac{l}{2})-f(a-\frac{l}{2})-(a-\frac{l}{2})(a+\frac{l}{2})+f(a+\frac{l}{2})}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$ | $$k=\frac{f}{l}\cdot \frac{(a-\frac{l}{2})(a+\frac{l}{2})-f(a-\frac{l}{2})-(a-\frac{l}{2})(a+\frac{l}{2})+f(a+\frac{l}{2})}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$ | ||
| $$k=\frac{f}{l}\cdot \frac{-f(a-\frac{l}{2})+f(a+\frac{l}{2})}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$ | $$k=\frac{f}{l}\cdot \frac{-f(a-\frac{l}{2})+f(a+\frac{l}{2})}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$ | ||
| $$k=\frac{f}{l}\cdot \frac{fl}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$ | $$k=\frac{f}{l}\cdot \frac{fl}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$ | ||
| Окончательно: | Окончательно: | ||
| $$k=\frac{f^{2}}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$ | $$k=\frac{f^{2}}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$k=\frac{f^{2}}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$ | $$k=\frac{f^{2}}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$ | ||
| ещё строк без изменений 48 | |||