Решение

На шарик с зарядом $+q$ действует сила $\vec F=q\vec E$, а на шарик с зарядом $-q$ действует сила $\vec F=-q\vec E$. Обе силы одинаковы по модулю, направлены в противоположные стороны, приложены на концах гантели. Это создаёт пару сил, вызывающую крутящий момент.

Пусть угол отклонения гантели от направления поля равен $\theta$, тогда плечо каждой силы относительно центра гантели равно $\frac{l}{2}\sin\theta$, а сила даёт момент относительно центра:

$$M=-qE\cdot \frac{l}{2}\sin\theta-qE\cdot \frac{l}{2}\sin\theta=-qEl\sin\theta$$

Момент инерции гантели относительно центра:

$$I=2m\left( \frac{l}{2} \right)^{2}=\frac{1}{2}ml^{2}$$

Из закона вращательного движения:

$$I\ddot{\theta}=M \Longrightarrow \frac{1}{2}ml^{2}\ddot{\theta}=-qEl\sin\theta$$

Для малых углов $\sin\theta\approx \theta$, тогда:

$$\frac{1}{2}ml^{2}\ddot{\theta}+qEl\theta=0$$
$$\ddot{\theta}+\frac{2qE}{ml}\theta=0$$

Это уравнение гармонических колебаний с угловой частотой:

$$\omega=\sqrt{\frac{2qE}{ml}}$$

Период колебаний:

$$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{ml}{2qE}}$$