| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $6.2.6.$ Используя теорему Гаусса, определите напряженность электрического | | $6.2.6.$ Используя теорему Гаусса, определите напряженность электрического |
| поля: | | поля: |
| а) внутри и вне равномерно заряженной сферы, если полный заряд сферы $Q$; | | а) внутри и вне равномерно заряженной сферы, если полный заряд сферы $Q$; |
| б) равномерно заряженной бесконечной нити, если заряд единицы длины нити $\rho$; | | б) равномерно заряженной бесконечной нити, если заряд единицы длины нити $\rho$; |
| в) равномерно заряженной бесконечной плоскости, если поверхностная плотность заряда плоскости $\sigma$; | | в) равномерно заряженной бесконечной плоскости, если поверхностная плотность заряда плоскости $\sigma$; |
| г) внутри и вне равномерно заряженного шара радиуса $R$, если объемная плотность заряда $\rho$; нарисуйте график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до центра шара; | | г) внутри и вне равномерно заряженного шара радиуса $R$, если объемная плотность заряда $\rho$; нарисуйте график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до центра шара; |
| д) внутри и вне равномерно заряженного бесконечного цилиндра радиуса $R$, если объемная плотность заряда внутри цилиндра равна $\rho$; нарисуйте график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до оси цилиндра; | | д) внутри и вне равномерно заряженного бесконечного цилиндра радиуса $R$, если объемная плотность заряда внутри цилиндра равна $\rho$; нарисуйте график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до оси цилиндра; |
| е) вне и внутри равномерно заряженной бесконечной пластины толщины $h$, если объемная плотность заряда в пластине равна $\rho$; нарисуйте график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до центральной плоскости пластины | | е) вне и внутри равномерно заряженной бесконечной пластины толщины $h$, если объемная плотность заряда в пластине равна $\rho$; нарисуйте график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до центральной плоскости пластины |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Теорма Гаусса: | | Теорма Гаусса: |
| | | |
| $$\Phi = \vec{E}\cdot \vec{S} = \frac{\sum q}{\varepsilon_0}$$ | | $$\Phi = \vec{E}\cdot \vec{S} = \frac{\sum q}{\varepsilon_0}$$ |
| | | |
| а) В качестве гауссовой поверхности возьмём сферу, центр которой совпадает с центром исходной, а радиус $r$. При $r\leq R$: | | а) В качестве гауссовой поверхности возьмём сферу, центр которой совпадает с центром исходной, а радиус $r$. При $r\leq R$: |
| | | |
| $$\Phi = \vec{E}\cdot \vec{S} = \frac{\sum q}{\varepsilon_0} = 0$$ | | $$\Phi = \vec{E}\cdot \vec{S} = \frac{\sum q}{\varepsilon_0} = 0$$ |
| | | |
| $$E = 0$$ | | $$E = 0$$ |
| | | |
| Т.к заряд внутри сферы равен нулю | | Т.к заряд внутри сферы равен нулю |
| | | |
| При $r>R$: | | При $r>R$: |
| | | |
| $$\Phi = E\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}$$ | | $$\Phi = E\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}$$ |
| | | |
| $$E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$ | | $$E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$ |
| | | |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| б) В силу бесконечности нити, исходя из симметрии, очевидно, что вектор напряжённости перпендикулярен нити | | б) В силу бесконечности нити, исходя из симметрии, очевидно, что вектор напряжённости перпендикулярен нити |
| | | |
| В качестве гауссовой поверхности берём циллиндр, ось которого совпадает с нитью, радиус $r$, а высота $H$. Тогда из т. Гаусса: | | В качестве гауссовой поверхности берём циллиндр, ось которого совпадает с нитью, радиус $r$, а высота $H$. Тогда из т. Гаусса: |
| | | |
| $$\Phi = E\cdot 2\pi rH = \frac{\rho H}{\varepsilon_0}$$ | | $$\Phi = E\cdot 2\pi rH = \frac{\rho H}{\varepsilon_0}$$ |
| | | |
| $$E = \frac{\rho}{2\pi\varepsilon_0 r}$$ | | $$E = \frac{\rho}{2\pi\varepsilon_0 r}$$ |
| $$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$ | | $$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$ |
| | | |
| г) В качестве гауссовой поверхности берём сферу радиуса r. тогда при $r\leq R$ | | г) В качестве гауссовой поверхности берём сферу радиуса r. тогда при $r\leq R$ |
| | | |
| $$\Phi=E\cdot 4\pi r^2= \frac{\rho 4\pi r^3}{3\varepsilon_0}$$ | | $$\Phi=E\cdot 4\pi r^2= \frac{\rho 4\pi r^3}{3\varepsilon_0}$$ |
| | | |
| $$E = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$$ | | $$E = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$$ |
| | | |
| При $r>R$: | | При $r>R$: |
| | | |
| $$\Phi =E\cdot 4\pi r^2= \frac{\rho 4\pi R^3}{3\varepsilon_0}$$ | | $$\Phi =E\cdot 4\pi r^2= \frac{\rho 4\pi R^3}{3\varepsilon_0}$$ |
| | | |
| $$E = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2}$$ | | $$E = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2}$$ |
| | | |
| В итоге получим график: | | В итоге получим график: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| д) Гауссова поверхность - коаксиальный цилиндр. При $r\leq R$: | | д) Гауссова поверхность - коаксиальный цилиндр. При $r\leq R$: |
| | | |
| $$\Phi = E\cdot 2\pi rH = \frac{\rho \pi r^2H}{\varepsilon_0}$$ | | $$\Phi = E\cdot 2\pi rH = \frac{\rho \pi r^2H}{\varepsilon_0}$$ |
| | | |
| $$E=\frac{\rho r}{2\varepsilon_0}$$ | | $$E=\frac{\rho r}{2\varepsilon_0}$$ |
| | | |
| При $r>R$: | | При $r>R$: |
| | | |
| $$\Phi = E 2\pi rH = \frac{\rho \pi R^2H}{\varepsilon_0}$$ | | $$\Phi = E 2\pi rH = \frac{\rho \pi R^2H}{\varepsilon_0}$$ |
| | | |
| $$E = \frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0 r}$$ | | $$E = \frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0 r}$$ |
| | | |
| Тогда график: | | Тогда график: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| e) Из соображений симметрии напряжённость направленна перпендикулярно пластине. Так же, опять из симметрии, напряжённость в центре пластины равна нулю. При смещении от центра на расстояние $x\leq \frac{h}{2}$ Напряжённость будет равна напряжённости плоскости в координатах от $x$ до $-x$, суперпозиция остального равна нулю. Тогда(гауссова поверхность - цилиндр площадью основания $S$): | | e) Из соображений симметрии напряжённость направленна перпендикулярно пластине. Так же, опять из симметрии, напряжённость в центре пластины равна нулю. При смещении от центра на расстояние $x\leq \frac{h}{2}$ Напряжённость будет равна напряжённости плоскости в координатах от $x$ до $-x$, суперпозиция остального равна нулю. Тогда(гауссова поверхность - цилиндр площадью основания $S$): |
| | | |
| $$\Phi = E 2S = \frac{\rho \cdot 2Sx}{\varepsilon_0}$$ | | $$\Phi = E 2S = \frac{\rho \cdot 2Sx}{\varepsilon_0}$$ |
| | | |
| $$ E = \frac{\rho x}{\varepsilon_0}$$ | | $$ E = \frac{\rho x}{\varepsilon_0}$$ |
| | | |
| При $x>\frac{h}{2}$ аналогично плоскости, учитывая что $\sigma = \rho h$: | | При $x>\frac{h}{2}$ аналогично плоскости, учитывая что $\sigma = \rho h$: |
| | | |
| $$E = \frac{\rho h}{2\varepsilon_0}$$ | | $$E = \frac{\rho h}{2\varepsilon_0}$$ |
| | | |
| Тогда график: | | Тогда график: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $$a. E=0 \quad при \quad r\leq R,\quad иначе\quad E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}; \quad б.E = \frac{\rho}{2\pi\varepsilon_0 r}; \quad в.E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0};$$ | | $$a. E=0 \quad при \quad r\leq R,\quad иначе\quad E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}; \quad б.E = \frac{\rho}{2\pi\varepsilon_0 r}; \quad в.E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0};$$ |
| | | |
| $$ \quad г.E = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}\quad при\quad r\leq R,\quad иначе \quad E = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2};\quad д.E=\frac{\rho r}{2\varepsilon_0} \quad при\quad r\leq R,\quad иначе\quad E = \frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0 r}; \quad$$ | | $$ \quad г.E = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}\quad при\quad r\leq R,\quad иначе \quad E = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2};\quad д.E=\frac{\rho r}{2\varepsilon_0} \quad при\quad r\leq R,\quad иначе\quad E = \frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0 r}; \quad$$ |
| | | |
| $$ е.E = \frac{\rho x}{\varepsilon_0}\quad при\quad x\leq \frac{h}{2},\quad иначе\quad E = \frac{\rho h}{2\varepsilon_0} $$ | | $$ е.E = \frac{\rho x}{\varepsilon_0}\quad при\quad x\leq \frac{h}{2},\quad иначе\quad E = \frac{\rho h}{2\varepsilon_0} $$ |