Решение

Найдем скорость центра масс для двух электронов, движущихся навстречу друг другу со скоростями $\upsilon_{1}$ и $\upsilon_{2}$:

$$\upsilon_{цм}=\frac{m_{e}\upsilon_{1}+(-m_{e}\upsilon_{2})}{m_{e}+m_{e}}=\frac{\upsilon_{1}-\upsilon_{2}}{2}$$

Перейдём в систему центру масс. В ней скорость первого электрона будет:

$$\upsilon_{1}^{'}=\upsilon_{1}-\upsilon_{цм}=\upsilon_{1}-\frac{\upsilon_{1}-\upsilon_{2}}{2}=\frac{\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}{2}$$

Скорость второго электрона будет:

$$\upsilon_{2}^{'}=\upsilon_{2}+\upsilon_{цм}=\upsilon_{2}+\frac{\upsilon_{1}-\upsilon_{2}}{2}=\frac{\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}{2}$$

То есть, электроны в СЦМ движутся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями: $\upsilon^{'}=\frac{\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}{2}$.

Запишем закон сохранения энергии в СЦМ. Минимальное расстояние между электронами соответствует моменту, когда они максимально сблизились, и в этот момент их относительная скорость равна нулю. В момент минимального расстояния кинетическая энергия равна нулю, и полная энергия — это чисто потенциальная энергия кулоновского отталкивания на расстоянии $r_{min}$:

$$2\cdot \frac{1}{2}m_{e}\upsilon^{'2}=\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{min}}$$
$$m_{e}\left( \frac{\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}{2} \right)^{2}=\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{min}}$$

Отсюда:

$$r_{min}=\frac{e^{2}}{\pi \varepsilon_{0}m_{e}(\upsilon_{1}+\upsilon_{2})^{2}}$$