Решение

Запишим второй закон Ньютона:

$$\frac{d p}{dt}=-eE$$

знак минус означает, что поле тормозит электрон. Следовательно:

$$dt=-\frac{dp}{eE}$$

Время пролета:

$$\tau=-\int_{p_{н}}^{p_{к}}\frac{dp}{eE}=\frac{1}{eE}(p_{н}-p_{к})$$

Поскольку электрон летит с релятивистской скоростью, то в импульсе частицы надо использовать релятивистскую массу:

$$p_{н}=\frac{2m_{e}\upsilon}{\sqrt{1-\frac{4\upsilon^{2}}{c^{2}}}}$$
$$p_{к}=\frac{m_{e}\upsilon}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}}$$

Подставим импульсы в формулу для времени:

$$\tau=\frac{m_{e}\upsilon}{eE}\left( \frac{2}{\sqrt{1-\frac{4\upsilon^{2}}{c^{2}}}}-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}} \right)$$

В ответе задачника ошибка/опечатка (при $\upsilon\ll с$ время $\tau=0$, что есть абсурд).