Решение

$\textbf{а. }$ В этом случае процесс изобарный ($P = const$). Работа в изобарном процессе:

$$A=\int_{V}^{V_{1}}PdV=P(V_{1}-V)$$

Объём газа удвоился: $V_{1}=2V$, тогда работа будет:

$$A=P(2V-V)=PV$$

$\textbf{б. }$ По условию задачи давление увеличивается линейно в зависимости от объёма, тогда:

$$P(\upsilon)=k\cdot \upsilon$$
$$P(V)=P=k\cdot V\Longrightarrow k=\frac{P}{V}$$

Итак, функциональная зависимость давления от объёма:

$$P(\upsilon)=\frac{P}{V}\cdot \upsilon$$

Работа в данном процессе:

$$A=\int_{V}^{V_{1}}P(\upsilon)d\upsilon=\int_{V}^{V_{1}}\frac{P}{V}\cdot \upsilon\cdot d\upsilon=\frac{P}{2V}\left[ \upsilon^{2} \right]_{V}^{V_{1}}=\frac{P}{2V}(V_{1}^{2}-V^{2})$$

Объём газа удвоился: $V_{1}=2V$, тогда работа будет:

$$A=\frac{P}{2V}(4V^{2}-V^{2})=\frac{3}{2}PV$$