10.1.10∗.Из точки $A$ со скоростью $v$ вылетают частицы, имея малый угловой разброс $δ\alpha$, и далее движутся в однородном магнитном поле индукции $B$ перпендикулярно ему. Определите, на каком расстоянии от точки A соберется пучок, и оцените в этом месте его поперечный размер. Масса частиц $m$, заряд $q$.
Решение
Скорость частиц первендикулярна вектору индукции магнитного поля, значит они будут двигаться не по винтовым линиям, а по окружностям, лежащим в одной плоскости, причем так как их скорости одинаковы, радиусы всех траекторий равны:
$R= \frac{mv}{qB}$
К задаче $10.1.10$
Положение центра окружности зависит от угла вылета $\beta$.
Поместим систему в прямоугольную систему координат (см. рис.),так чтобы $Oy$ проходила через центр пучка. Фокусировка пучка будет происходить именно вблизи $Oy$. Заметим, что координата точки пересечения траектории и Oy определяется как
$y=2Rcos\beta$
Причем $y_{max}=2R$ соответствует $\beta=0$,$y_{min}=2Rcos(\delta\alpha/2)$ соответствует максимальному углу $\beta=δ\alpha/2$. Разница между этими значениями и будет искомым поперечным размером. Угол $δ\alpha$ малый, значит можно считать, что $δ\alpha/2$ малый, и $cos(\delta\alpha/2)\approx1-\frac{(δ\alpha/2)^2}{2}$.
Тогда
$l= \Delta y =y_{max}-y_{min}=2R-2R(1-\frac{(δ\alpha/2)^2}{2}) =\frac{mv(δα)^2}{4qB}$
Край области $\Delta y$ будет находится на расстоянии $y_{max}=2R=\frac{2mv}{qB}$ от точки $A$.
Ответ
$l = \frac{2mv}{qB}; \Delta y = \frac{mv(δα)^2}{4qB}$
