$10.1.12^*$ Вдоль однородного магнитного поля индукции $B$ из одной точки со скоростью $v$ вылетают электроны, имея малый угловой разброс $δα$. Определите, на каком расстоянии от места вылета пучок будет иметь минимальный поперечный размер, и оцените его.
### Решение
Перед решением этой задачи рекомендую ознакомится с задачей 10.1.10.
Иллюстрация и идея решения взята из издания "Слободянюк А.И. «Очень длинные физические задачи» Часть 2. Задачи 10 – 18"
Движение каждой частицы будет происходить по винтовой линии, радиус которой зависит от угла вылета частицы. Причем все спирали не будут соосны, а будут касаться одной прямой - оси пучка. Если угол вылета частиц к вектору магнитной индукции мал, то все траектории-спирали будут иметь приблизительно одинаковый шаг (Допущение 1), поэтому на расстоянии шага спирали будет наблюдаться эффект фокусировки частиц.
Рассмотрим группу частиц вылетевших под одинаковыми углами $\beta$ к оси пучка. За некоторый промежуток времени t они пройдут дугу окружности $ϕ = \frac{2πt}{T}$ ($T$ - циклотронный период) радиуса $R=\frac{m_ev\sin\beta}{eB}$, удалятся от оси пучка на расстояние $r=\mid2R\sin\frac{\varphi}{2}\mid$ и сместятся на расстояние $x = vt \cos\beta$ вдоль этой оси. Из этого получим:
Ширина пучка будет определяться частицами, вылетевшими под максимальным углом $\beta=\frac{\delta\alpha}{2}$, то есть функция зависимости радиуса пучка от координаты x имеет вид
Минимумам данной функции соответствуют "фокусные расстояния" системы:
$$x_f=\frac{2\pi mv}{eB}k, k\in N \tag{3}$$
Заметим, что при малых $k$ Допушение 1 работает лучше (см. рис.), поэтому в ответ записываем значение при $k=1$
Для определения ширины пучка в области фокуса необходимо учесть зависимость продольной компоненты скорости от угла вылета. Для этого внесем в Допушение 2 уточнение для косинуса: $\cos\beta\approx1-\frac{\beta^2}{2}$ (Допущение 3), и перепишем уравнение (1) для области фокуса:
$x_f = \frac{2πm_ev}{eB}, d = \frac{πm_ev(δα)^3}{4eB}$
### Условие
### Условие
$10.1.12^*$ Вдоль однородного магнитного поля индукции $B$ из одной точки со скоростью $v$ вылетают электроны, имея малый угловой разброс $δα$. Определите, на каком расстоянии от места вылета пучок будет иметь минимальный поперечный размер, и оцените его.
$10.1.12^*$ Вдоль однородного магнитного поля индукции $B$ из одной точки со скоростью $v$ вылетают электроны, имея малый угловой разброс $δα$. Определите, на каком расстоянии от места вылета пучок будет иметь минимальный поперечный размер, и оцените его.
### Решение
### Решение
Перед решением этой задачи рекомендую ознакомится с задачей 10.1.10.
Перед решением этой задачи рекомендую ознакомится с задачей 10.1.10.
Иллюстрация и идея решения взята из издания "Слободянюк А.И. «Очень длинные физические задачи» Часть 2. Задачи 10 – 18"
Иллюстрация и идея решения взята из издания "Слободянюк А.И. «Очень длинные физические задачи» Часть 2. Задачи 10 – 18"
Движение каждой частицы будет происходить по винтовой линии, радиус которой зависит от угла вылета частицы. Причем все спирали не будут соосны, а будут касаться одной прямой - оси пучка. Если угол вылета частиц к вектору магнитной индукции мал, то все траектории-спирали будут иметь приблизительно одинаковый шаг (Допущение 1), поэтому на расстоянии шага спирали будет наблюдаться эффект фокусировки частиц.
Движение каждой частицы будет происходить по винтовой линии, радиус которой зависит от угла вылета частицы. Причем все спирали не будут соосны, а будут касаться одной прямой - оси пучка. Если угол вылета частиц к вектору магнитной индукции мал, то все траектории-спирали будут иметь приблизительно одинаковый шаг (Допущение 1), поэтому на расстоянии шага спирали будет наблюдаться эффект фокусировки частиц.
Рассмотрим группу частиц вылетевших под одинаковыми углами $\beta$ к оси пучка. За некоторый промежуток времени t они пройдут дугу окружности $ϕ = \frac{2πt}{T}$ ($T$ - циклотронный период) радиуса $R=\frac{m_ev\sin\beta}{eB}$, удалятся от оси пучка на расстояние $r=\mid2R\sin\frac{\varphi}{2}\mid$ и сместятся на расстояние $x = vt \cos\beta$ вдоль этой оси. Из этого получим:
Рассмотрим группу частиц вылетевших под одинаковыми углами $\beta$ к оси пучка. За некоторый промежуток времени t они пройдут дугу окружности $ϕ = \frac{2πt}{T}$ ($T$ - циклотронный период) радиуса $R=\frac{m_ev\sin\beta}{eB}$, удалятся от оси пучка на расстояние $r=\mid2R\sin\frac{\varphi}{2}\mid$ и сместятся на расстояние $x = vt \cos\beta$ вдоль этой оси. Из этого получим:
Ширина пучка будет определяться частицами, вылетевшими под максимальным углом $\beta=\frac{\delta\alpha}{2}$, то есть функция зависимости радиуса пучка от координаты x имеет вид
Ширина пучка будет определяться частицами, вылетевшими под максимальным углом $\beta=\frac{\delta\alpha}{2}$, то есть функция зависимости радиуса пучка от координаты x имеет вид
Минимумам данной функции соответствуют "фокусные расстояния" системы:
Минимумам данной функции соответствуют "фокусные расстояния" системы:
$$x_f=\frac{2\pi mv}{eB}k, k\in N \tag{3}$$
$$x_f=\frac{2\pi mv}{eB}k, k\in N \tag{3}$$
Заметим, что при малых $k$ Допушение 1 работает лучше (см. рис.), поэтому в ответ записываем значение при $k=1$
Заметим, что при малых $k$ Допушение 1 работает лучше (см. рис.), поэтому в ответ записываем значение при $k=1$
Для определения ширины пучка в области фокуса необходимо учесть зависимость продольной компоненты скорости от угла вылета. Для этого внесем в Допушение 2 уточнение для косинуса: $\cos\beta\approx1-\frac{\beta^2}{2}$ (Допущение 3), и перепишем уравнение (1) для области фокуса:
Для определения ширины пучка в области фокуса необходимо учесть зависимость продольной компоненты скорости от угла вылета. Для этого внесем в Допушение 2 уточнение для косинуса: $\cos\beta\approx1-\frac{\beta^2}{2}$ (Допущение 3), и перепишем уравнение (1) для области фокуса:
