Решение

В процессе решения задачи нам потребуется использовать уравнение гидростатического равновесия столба воздуха. Выведем его.

Возьмём элементарный цилиндр воздуха с площадью основания $S$, высотой $dz$. Масса сухого воздуха заключенного в данном цилиндре: $m=\rho Sdz$. Эта масса испытывает силу давления нижних слоёв воздуха: $F_{1}=PS$, силу давления верхних слоёв воздуха: $F_{2}=(P+dP)S$, а также силу тяжести: $F_{3}=\rho gSdz$.

В стационарном случае сумма проекций сил на вертикальное направление ($z$) должна равняться нулю - это условие равновесия:

$$F_{1}-F_{2}-F_{3}=0$$
$$PS-(P+dP)S-\rho gSdz=0$$

Упрощаем:

$$dP=-\rho gdz$$
$$\frac{dP}{dz}=-\rho g \tag{1}$$

Это есть уравнение гидростатического равновесия.

Для восходящего сухого воздуха предполагаем, что процесс адиабатический (нет теплообмена с окружающей средой). Запишем первое начало термодинамики в дифференциальной форме:

$$dU+dA=\delta Q \tag{2}$$

Для идеального газа изменение внутренней энергии воздуха ($\nu$ молей):

$$dU=\nu C_{V}dT \tag{3}$$

Работа воздуха при адиабатическом расширении:

$$dA=PdV$$

Уравнение состояния идеального газа:

$$PV=\nu RT$$

Продифференцируем его как сложную функцию:

$$VdP+PdV=\nu RdT$$
$$PdV=\nu RdT-VdP$$

Следовательно:

$$dA=\nu RdT-VdP \tag{4}$$

При адиабатическом процессе $\delta Q=0$, подставим (3) и (4) в (2):

$$\nu C_{V}dT+\nu RdT-VdP=0$$

Используя связь между теплоёмкостями