$5.6.21.$ Сухой воздух переносится слабым ветром через горный перевал высотой 1 км. Оцените, на сколько температура воздуха на перевале ниже, чем у подножья гор.
### Решение
В процессе решения задачи нам потребуется использовать уравнение гидростатического равновесия столба воздуха. Выведем его.
Возьмём элементарный цилиндр воздуха с площадью основания $S$, высотой $dz$. Масса сухого воздуха заключенного в данном цилиндре: $m=\rho Sdz$. Эта масса испытывает силу давления нижних слоёв воздуха: $F_{1}=PS$, силу давления верхних слоёв воздуха: $F_{2}=(P+dP)S$, а также силу тяжести: $F_{3}=\rho gSdz$.
В стационарном случае сумма проекций сил на вертикальное направление ($z$) должна равняться нулю - это условие равновесия:
$$F_{1}-F_{2}-F_{3}=0$$
$$PS-(P+dP)S-\rho gSdz=0$$
Упрощаем:
$$dP=-\rho gdz$$
$$\frac{dP}{dz}=-\rho g \tag{1}$$
Это есть уравнение гидростатического равновесия.
Для восходящего сухого воздуха предполагаем, что процесс адиабатический (нет теплообмена с окружающей средой). Запишем первое начало термодинамики в дифференциальной форме:
$$dU+dA=\delta Q \tag{2}$$
Для идеального газа изменение внутренней энергии воздуха ($\nu$ молей):
$$dU=\nu C_{V}dT \tag{3}$$
Работа воздуха при адиабатическом расширении:
$$dA=PdV$$
Уравнение состояния идеального газа:
$$PV=\nu RT$$
Продифференцируем его как сложную функцию:
$$VdP+PdV=\nu RdT$$
$$PdV=\nu RdT-VdP$$
Следовательно:
$$dA=\nu RdT-VdP \tag{4}$$
При адиабатическом процессе $\delta Q=0$, подставим (3) и (4) в (2):
@@ -49,8 +49,49 @@Решение
$$\nu C_{V}dT+\nu RdT-VdP=0$$
−
Используя связь между теплоёмкостями
+
Используя связь между теплоёмкостями идеального газа: $C_{P}=C_{V}+R$, получим:
+
+
$$\nu C_{P}dT=VdP \tag{5}$$
+
+
Количество молей:
+
+
$$\nu=\frac{m}{\mu}$$
+
+
Объём:
+
+
$$V=\frac{m}{\rho}$$
+
+
Всё подставим в (5):
+
+
$$\frac{m}{\mu} C_{P}dT=\frac{m}{\rho}dP$$
+
$$dT=\frac{\mu}{\rho C_{P}}dP$$
+
+
Поделим левую и правую часть на дифференциал $dz$:
Проинтегрируем в пределах по температуре от температуры у подножия горного перевала до температуры на перевале и по высоте от 0 до высоты перевала $H$:
$5.6.21.$ Сухой воздух переносится слабым ветром через горный перевал высотой 1 км. Оцените, на сколько температура воздуха на перевале ниже, чем у подножья гор.
$5.6.21.$ Сухой воздух переносится слабым ветром через горный перевал высотой 1 км. Оцените, на сколько температура воздуха на перевале ниже, чем у подножья гор.
### Решение
### Решение
В процессе решения задачи нам потребуется использовать уравнение гидростатического равновесия столба воздуха. Выведем его.
В процессе решения задачи нам потребуется использовать уравнение гидростатического равновесия столба воздуха. Выведем его.
Возьмём элементарный цилиндр воздуха с площадью основания $S$, высотой $dz$. Масса сухого воздуха заключенного в данном цилиндре: $m=\rho Sdz$. Эта масса испытывает силу давления нижних слоёв воздуха: $F_{1}=PS$, силу давления верхних слоёв воздуха: $F_{2}=(P+dP)S$, а также силу тяжести: $F_{3}=\rho gSdz$.
Возьмём элементарный цилиндр воздуха с площадью основания $S$, высотой $dz$. Масса сухого воздуха заключенного в данном цилиндре: $m=\rho Sdz$. Эта масса испытывает силу давления нижних слоёв воздуха: $F_{1}=PS$, силу давления верхних слоёв воздуха: $F_{2}=(P+dP)S$, а также силу тяжести: $F_{3}=\rho gSdz$.
В стационарном случае сумма проекций сил на вертикальное направление ($z$) должна равняться нулю - это условие равновесия:
В стационарном случае сумма проекций сил на вертикальное направление ($z$) должна равняться нулю - это условие равновесия:
$$F_{1}-F_{2}-F_{3}=0$$
$$F_{1}-F_{2}-F_{3}=0$$
$$PS-(P+dP)S-\rho gSdz=0$$
$$PS-(P+dP)S-\rho gSdz=0$$
Упрощаем:
Упрощаем:
$$dP=-\rho gdz$$
$$dP=-\rho gdz$$
$$\frac{dP}{dz}=-\rho g \tag{1}$$
$$\frac{dP}{dz}=-\rho g \tag{1}$$
Это есть уравнение гидростатического равновесия.
Это есть уравнение гидростатического равновесия.
Для восходящего сухого воздуха предполагаем, что процесс адиабатический (нет теплообмена с окружающей средой). Запишем первое начало термодинамики в дифференциальной форме:
Для восходящего сухого воздуха предполагаем, что процесс адиабатический (нет теплообмена с окружающей средой). Запишем первое начало термодинамики в дифференциальной форме:
$$dU+dA=\delta Q \tag{2}$$
$$dU+dA=\delta Q \tag{2}$$
Для идеального газа изменение внутренней энергии воздуха ($\nu$ молей):
Для идеального газа изменение внутренней энергии воздуха ($\nu$ молей):
$$dU=\nu C_{V}dT \tag{3}$$
$$dU=\nu C_{V}dT \tag{3}$$
Работа воздуха при адиабатическом расширении:
Работа воздуха при адиабатическом расширении:
$$dA=PdV$$
$$dA=PdV$$
Уравнение состояния идеального газа:
Уравнение состояния идеального газа:
$$PV=\nu RT$$
$$PV=\nu RT$$
Продифференцируем его как сложную функцию:
Продифференцируем его как сложную функцию:
$$VdP+PdV=\nu RdT$$
$$VdP+PdV=\nu RdT$$
$$PdV=\nu RdT-VdP$$
$$PdV=\nu RdT-VdP$$
Следовательно:
Следовательно:
$$dA=\nu RdT-VdP \tag{4}$$
$$dA=\nu RdT-VdP \tag{4}$$
При адиабатическом процессе $\delta Q=0$, подставим (3) и (4) в (2):
При адиабатическом процессе $\delta Q=0$, подставим (3) и (4) в (2):
@@ -49,8 +49,49 @@Решение
$$\nu C_{V}dT+\nu RdT-VdP=0$$
$$\nu C_{V}dT+\nu RdT-VdP=0$$
Используя связь между теплоёмкостями
Используя связь между теплоёмкостями идеального газа: $C_{P}=C_{V}+R$, получим:
$$\nu C_{P}dT=VdP \tag{5}$$
Количество молей:
$$\nu=\frac{m}{\mu}$$
Объём:
$$V=\frac{m}{\rho}$$
Всё подставим в (5):
$$\frac{m}{\mu} C_{P}dT=\frac{m}{\rho}dP$$
$$dT=\frac{\mu}{\rho C_{P}}dP$$
Поделим левую и правую часть на дифференциал $dz$:
Проинтегрируем в пределах по температуре от температуры у подножия горного перевала до температуры на перевале и по высоте от 0 до высоты перевала $H$:
