11.2.13∗. Плоская спираль с очень большим числом витков $n$ и наружным радиусом $R$ находится в однородном магнитном поле, индукция которого перпендикулярна плоскости спирали и изменяется по закону $B = B_0 cos \omega t$. Найдите ЭДС индукции в спирали. Расстояние между витками спирали одно и то же.
Решение
К задаче $11.2.13$
Магнитный поток через виток радиуса $r$ равен
$$\Phi=BS=\pi r^2B_0 cos \omega t$$
Тогда в этом витке возникает ЭДС индукции
$$\xi_{ind}=-\frac{d\Phi}{dt}=\pi r^2B_0 \omega sin \omega t$$
Все витки соединены последовательно, значит общая ЭДС равна
$$\xi_{total}=\sum_{i=0}^{n}\xi_i$$
Число витков очень велико, поэтому мы можем заменить сумму интегралом
$$\xi_{total}=\int_{0}^{n}\xi_{ind}dn=\int_{0}^{N}\pi r^2B_0\omega sin \omega t dn$$
где $dn=n\frac{dr}{R}$.Тогда
$$\xi_{total}=\frac{\pi B_0 \omega sin \omega t}{R}\int_{0}^{R} r^2dr=\frac{\pi R^2}{3}nB_0\omega sin \omega t$$
