Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

emixter правка от
Посмотреть решение История
правка #14662 предыдущая #14661 ← раньше
ru/11.2.14.md +55 −3
@@ -1,11 +1,63 @@
### Условие
−$11.2.14.$ [Вставьте условие задачи]
+$11.2.14.$ На непроводящем кольце массы $m$ и радиуса $r$ равномерно распределен заряд $q$. Кольцо может свободно вращаться вокруг своей оси. В начальный момент кольцо покоится. В центральной области кольца радиуса $l\lt r$ имеется перпендикулярное плоскости кольца магнитное поле, индукция которого равномерно уменьшается до нуля. Какую угловую скорость приобретет кольцо к моменту исчезновения поля? Изменится ли результат, если индукция $B$ будет уменьшаться до нуля неравномерно? Индукцией магнитного поля, создаваемой вращающимся кольцом, пренебречь.
### Решение
−ere
+Изменение магнитного поля в кольце должно создавать индуцированный ток, но кольцо у нас непроводящее. Вместо этого на кольце равномерно распределен заряд и оно способно свободно вращаться. Поэтому вместо индуцированного тока у нас появляется вращательное движение кольца как единого проводника.
+Возникающая ЭДС индукции в кольце:
+
+$$\mathscr{E}=-\frac{d\Phi}{dt} \tag{1}$$
+
+Эта ЭДС приводит к циркуляции электрического поля, которое, в свою очередь, действует на заряд кольца, сообщая ему момент вращения.
+
+Поток магнитной индукции:
+
+$$\Phi=B(t)\cdot S=B(t)\cdot \pi l^{2} \tag{2}$$
+
+поскольку поле пронизывает только область радиуса $l$.
+
+Подставим (2) в (1):
+
+$$\mathscr{E}=-\pi l^{2}\frac{dB(t)}{dt}$$
+
+Заряды на кольце испытывают действие электродвижущей силы. Величина циркуляции электрического поля:
+
+$$\oint_{}^{}\vec E\cdot d\vec l=\mathscr{E}$$
+$$E\cdot 2\pi r=\mathscr{E}\Longrightarrow E=\frac{\mathscr{E}}{2\pi r}$$
+
+Сила, действующая на кольцо со стороны электрического поля:
+
+$$F=qE=\frac{q\mathscr{E}}{2\pi r}$$
+
+Соответственно момент силы:
+
+$$M=F\cdot r=\frac{q\mathscr{E}}{2\pi r}\cdot r=\frac{q\mathscr{E}}{2\pi}$$
+
+Подставим выражение для ЭДС:
+
+$$M=\frac{q}{2\pi}\left( -\pi l^{2}\frac{dB(t)}{dt} \right)=-\frac{ql^{2}}{2}\frac{dB(t)}{dt}$$
+
+Запишем основное уравнение вращательного движения:
+
+$$I\frac{d\omega}{dt}=M$$
+
+где $I=mr^{2}$ - момент инерции кольца относительно оси вращения.
+
+Разделим переменные и проинтегрируем (индукция магнитного поля меняется от $B$ до 0):
+
+$$mr^{2}\int_{0}^{\omega}d\omega=\int_{B}^{0}-\frac{ql^{2}}{2}\frac{dB(t)}{dt}dt$$
+$$mr^{2}\omega=\frac{qBl^{2}}{2}$$
+
+Отсюда:
+
+$$\omega=\frac{qBl^{2}}{2mr^{2}}$$
+
+Поскольку $\omega$ определяется интегралом от момента силы, который пропорционален изменению потока магнитного поля, а это изменение зависит только от начального и конечного значений $B$, а не от того, как именно поле убывало. Поэтому результат для $\omega$ не изменится.
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$\omega=\frac{qBl^{2}}{2mr^{2}}$$
+
+Не изменится.