| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $11.2.18^*$ На поверхности длинного сплошного непроводящего цилиндра радиуса $r$ равномерно распределен заряд, поверхностная плотность которого $\sigma$. | | $11.2.18^*$ На поверхности длинного сплошного непроводящего цилиндра радиуса $r$ равномерно распределен заряд, поверхностная плотность которого $\sigma$. |
| Внешнее однородное магнитное поле индукции $B_0$ направлено вдоль оси цилиндра. | | Внешнее однородное магнитное поле индукции $B_0$ направлено вдоль оси цилиндра. |
| Определите угловую скорость вращения цилиндра после «выключения» внешнего поля. Плотность вещества цилиндра $\rho$. | | Определите угловую скорость вращения цилиндра после «выключения» внешнего поля. Плотность вещества цилиндра $\rho$. |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| При "выключении" магнитного поля мы уменьшаем магнитный поток, что приводит к возникновению вихревого электрического поля $E$. Из за этого возникает сила Лоренца $F_L=qE$, двигающая заряды на поверхности. Если бы цилиндр был проводящим, то по его поверхности при движении зарядов тёк бы ток. А наш непроводящий цилиндр движется вместе с зарядами. | | При "выключении" магнитного поля мы уменьшаем магнитный поток, что приводит к возникновению вихревого электрического поля $E$. Из за этого возникает сила Лоренца $F_L=qE$, двигающая заряды на поверхности. Если бы цилиндр был проводящим, то по его поверхности при движении зарядов тёк бы ток. А наш непроводящий цилиндр движется вместе с зарядами. |
| | | |
| Важно, что заряды при движении создают собственное магнитное поле, которым, например, в задаче $11.2.14$ мы принебрегали. | | Важно, что заряды при движении создают собственное магнитное поле, которым, например, в задаче $11.2.14$ мы принебрегали. |
| | | |
| Цилиндр длинный, значит влиянием зарядов на торцах можно пренебречь. | | Цилиндр длинный, значит влиянием зарядов на торцах можно пренебречь. |
| | | |
| Мысленно поделим цилиндр на диски толщиной $dh$. Рассчитаем основные характеристики такого диска: | | Мысленно поделим цилиндр на диски толщиной $dh$. Рассчитаем основные характеристики такого диска: |
| $$m=\rho \cdot \pi r^2 dh$$ | | $$m=\rho \cdot \pi r^2 dh$$ |
| $$J=\frac{mr^2}{2}=\frac{1}{2}\rho \cdot \pi r^4 dh\tag{1}$$ | | $$J=\frac{mr^2}{2}=\frac{1}{2}\rho \cdot \pi r^4 dh\tag{1}$$ |
| Выделим на краю кольца элементарный заряд | | Выделим на краю кольца элементарный заряд |
| $$dq=\sigma dS=\sigma r dh d\varphi$$ | | $$dq=\sigma dS=\sigma r dh d\varphi$$ |
| Тогда если кольцо вращается с угловой скоростью $\omega$ то возникает ток | | Тогда если кольцо вращается с угловой скоростью $\omega$ то возникает ток |
| $$I=\frac{dq}{dt}=\frac{d\varphi}{dt}\frac{dq}{d\varphi}=\omega \sigma r dh \tag{2}$$ | | $$I=\frac{dq}{dt}=\frac{d\varphi}{dt}\frac{dq}{d\varphi}=\omega \sigma r dh \tag{2}$$ |
| Полный заряд на краях кольца | | Полный заряд на краях кольца |
| $$q=\int_0^{2\pi}\sigma r dh d\varphi=2\pi r\sigma dh\tag{3}$$ | | $$q=\int_0^{2\pi}\sigma r dh d\varphi=2\pi r\sigma dh\tag{3}$$ |
| Найдем вихревое электрическое поле | | Найдем вихревое электрическое поле |
| $$\int Edl=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{dB}{dt}S$$ | | $$\int Edl=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{dB}{dt}S$$ |
| $$E=-\frac{S}{l}\frac{dB}{dt}=-\frac{r}{2}\frac{dB}{dt}\tag{4}$$ | | $$E=-\frac{S}{l}\frac{dB}{dt}=-\frac{r}{2}\frac{dB}{dt}\tag{4}$$ |
| Суммарный момент сил Лоренца, действующих на кольцо, равен | | Суммарный момент сил Лоренца, действующих на кольцо, равен |
| $$\sum M_L=qEr=J\frac{d\omega}{dt}\tag{5}$$ | | $$\sum M_L=qEr=J\frac{d\omega}{dt}\tag{5}$$ |
| $$-2\pi r\sigma dh\frac{r}{2}\frac{dB}{dt}r=\frac{1}{2}\rho \cdot \pi r^4 dh\frac{d\omega}{dt}$$ | | $$-2\pi r\sigma dh\frac{r}{2}\frac{dB}{dt}r=\frac{1}{2}\rho \cdot \pi r^4 dh\frac{d\omega}{dt}$$ |
| Сократив все что можно, получаем | | Сократив все что можно, получаем |
| $$-2\sigma dB=\rho r d\omega\tag{6}$$ | | $$-2\sigma dB=\rho r d\omega\tag{6}$$ |
| Теперь найдем собственное магнитное поле вращающегося цилиндра. Можно заметить, что он очень похож на соленоид, причем с бесконечным количеством очень маленьких витков. | | Теперь найдем собственное магнитное поле вращающегося цилиндра. Можно заметить, что он очень похож на соленоид, причем с бесконечным количеством очень маленьких витков. |
| Поэтому рассуждения будут аналогичными идеальному соленоиду: внутри поле однородно, снаружи отсутствует. | | Поэтому рассуждения будут аналогичными идеальному соленоиду: внутри поле однородно, снаружи отсутствует. |
| Согласно теореме о циркуляции | | Согласно теореме о циркуляции |
| $$B'dh=\mu_0I$$ | | $$B'dh=\mu_0I$$ |
| $$B'=\mu_0\omega\sigma r $$ | | $$B'=\mu_0\omega\sigma r $$ |
| Тогда | | Тогда |
| $$B=B_0+\mu_0\omega\sigma r\tag{7}$$ | | $$B=B_0+\mu_0\omega\sigma r\tag{7}$$ |
| С учётом этого перепишем 6: | | С учётом этого перепишем 6: |
