Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

ar4senN правка от 11 июн. 2025 г., 19:04

правка #14692 предыдущая #14691 ← раньше позже →

ru/7.1.28.md +30 −3

		@@ -1,11 +1,38 @@
			### Условие

		−	$7.1.28.$ [Вставьте условие задачи]
		+	Через щель, на которую подана разность потенциалов $V$ , пролетают электроны. Емкость единицы длины щели $C$. При малых значениях $V$ угол
		+	отклонения электронов полем щели пропорционален произведению $C$ на $V$ и обаратно пропорционален $V_0$ ($e V_0$ — начальная энергия электронов): $α ≈ kCV /V0$.
		+	Определите коэффициент $k$.

			### Решение

		−	Введите LaTeX здесь...
		+	Из условий заземления (нулевой потенциал) электрон приобретает скорость $v_0$, при этом энергия электрона не меняется.

		+	$$e V_0 = \frac{mv_0^2}{2} $$
		+
		+	Заряд $q$ на горизонтальных пластинах выводим из уравнения конденсатора, учитывая что щель имеет форму окружности.
		+
		+	$$q = 2 \pi R C V$$
		+
		+	Так как распределение заряда имеет осевую симметрию, рассмотрим взаимодействие электрона и суммарного заряда горизонтальных пластин как взаимодействие двух точечных зарядов.
		+
		+	Так как по условиям задачи угол $\alpha$ достаточно мал, предположим что горизонтальная скорость меняется незначительно.
		+
		+	$$E(\theta) = \frac{kq}{(r/sin(\theta))^2} $$\
		+	$$F(\theta)=eE(\theta)=\frac{kq}{(r/sin(\theta))^2}$$\
		+	$$dr=vdt$$\
		+	$$F_y=Fsin(\theta)$$\
		+	$$dP_y=F_ydt=\frac{kqe}{vr}sin(\theta)d\theta$$\
		+	$$P_y=\frac{kqe}{vr}\int_{0}^{\pi}sin(\theta)d\theta = \frac{2kqe}{vr}$$\
		+	$$P_x = mv$$\
		+	$$tan(\alpha)=\frac{P_y}{P_x} = \frac{qe}{2 \pi \epsilon_0 m v_0^2 R}$$\
		+	$$\alpha \approx \frac{qe}{2 \pi \epsilon_0 m v_0^2 R}$$
		+
		+	Теперь подставляем значение $q,e$ и сравниваем с формулой из задачи.
		+
		+	$$\alpha \approx \frac{CV}{2 \epsilon_0 V_0}$$\
		+	$$k=\frac{1}{2 \epsilon_0}$$
		+
			#### Ответ

		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
		+	$$k=\frac{1}{2 \epsilon_0}$$

	@@ -1,11 +1,38 @@
	### Условие		### Условие

	$7.1.28.$ [Вставьте условие задачи]		Через щель, на которую подана разность потенциалов $V$ , пролетают электроны. Емкость единицы длины щели $C$. При малых значениях $V$ угол
			отклонения электронов полем щели пропорционален произведению $C$ на $V$ и обаратно пропорционален $V_0$ ($e V_0$ — начальная энергия электронов): $α ≈ kCV /V0$.
			Определите коэффициент $k$.

	### Решение		### Решение

	Введите LaTeX здесь...		Из условий заземления (нулевой потенциал) электрон приобретает скорость $v_0$, при этом энергия электрона не меняется.

			$$e V_0 = \frac{mv_0^2}{2} $$

			Заряд $q$ на горизонтальных пластинах выводим из уравнения конденсатора, учитывая что щель имеет форму окружности.

			$$q = 2 \pi R C V$$

			Так как распределение заряда имеет осевую симметрию, рассмотрим взаимодействие электрона и суммарного заряда горизонтальных пластин как взаимодействие двух точечных зарядов.

			Так как по условиям задачи угол $\alpha$ достаточно мал, предположим что горизонтальная скорость меняется незначительно.

			$$E(\theta) = \frac{kq}{(r/sin(\theta))^2} $$\
			$$F(\theta)=eE(\theta)=\frac{kq}{(r/sin(\theta))^2}$$\
			$$dr=vdt$$\
			$$F_y=Fsin(\theta)$$\
			$$dP_y=F_ydt=\frac{kqe}{vr}sin(\theta)d\theta$$\
			$$P_y=\frac{kqe}{vr}\int_{0}^{\pi}sin(\theta)d\theta = \frac{2kqe}{vr}$$\
			$$P_x = mv$$\
			$$tan(\alpha)=\frac{P_y}{P_x} = \frac{qe}{2 \pi \epsilon_0 m v_0^2 R}$$\
			$$\alpha \approx \frac{qe}{2 \pi \epsilon_0 m v_0^2 R}$$

			Теперь подставляем значение $q,e$ и сравниваем с формулой из задачи.

			$$\alpha \approx \frac{CV}{2 \epsilon_0 V_0}$$\
			$$k=\frac{1}{2 \epsilon_0}$$

	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		$$k=\frac{1}{2 \epsilon_0}$$