9.4.7∗. Плоскости, пересекающиеся под углом $\alpha$, делят пространство на че- тыре области. Магнитное поле в каждой области однородно. В областях $1$ и $3$ индукция поля параллельна плоскости симметрии $AA′$, направлена в одну сто- рону и равна соответственно $B_1$ и $B_3$. Определите индукцию поля в областях $2$ и $4$.
Решение
Для решения этой задачи надо вспомнить, что линии магнитной индукции всегда замкнуты, а их плотность пропорциональна величине $B$. Пусть для данного в условии рисунка расстояние между силовыми линиями $a$ связано с магнитной индукцией отношением
$$B=\frac{k}{a}\tag{1}$$
где $k$- постоянный размерный коэффициент. Тогда на рисунке можно соединить концы силовых линий из $1$ и $3$ областей, и получить силовые линии в областях $2$ и $4$. Эти области одинаковы (из симметриии)
Из (1) несложно получить
$$B_2=B_4=B_1\frac{a_1}{a_2}=B_3\frac{a_3}{a_2}\tag{2}$$
Далее выделяем в области $2$ треугольник, 2 стороны которого лежат на плоскостях, включающий $N$ силовых линий. Получаем следующую фигуру (треугольник, вписанный в прямоугольную трапецию):
$$a_3=\frac{2a_1a_3cos\frac{\alpha}{2}}{\sqrt{a_1^2+a_3^2+2a_1a_3cos\alpha}}\tag{3}$$ Подставляя (3) и (1) в (2), получим искомое поле $$B_2=B_4=B_1\frac{a_1}{a_2}=B_1a_1\frac{\sqrt{a_1^2+a_3^2+2a_1a_3cos\alpha}}{2a_1a_3cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{\sqrt{B_1^2+B_3^2+2B_1B_3cos\alpha}}{2cos\frac{\alpha}{2}}$$ P.S. У Савченко, видимо, опечатка: в ответе под корнем все выражение
