Решение

Пусть в трубке будет жидкость длиной $x$, тогда перепад давлений, создаваемое собственным весом столба жидкости:

$$\Delta P=\rho gx\sin\alpha \tag{1}$$

так как $g\sin\alpha$ - проекция ускорения тяжести вдоль оси трубки.

Для ламинарного течения в цилиндрической трубке объёмный расход (закон Пуазейля, смотри задачу $4.4.5$):

$$Q=\frac{\pi R^{4}}{8\eta x}\Delta P \tag{2}$$

Подставим (1) в (2):

$$Q=\frac{\pi R^{4}}{8\eta x}\rho gx\sin\alpha=\frac{\pi R^{4}\rho g\sin\alpha}{8\eta} \tag{3}$$

Итак, объёмный расход жидкости не зависит от текущей длины ($x$) столба жидкости — он постоянен, пока трубка заполнена.

По определению объёмный расход это объем жидкости, перетекающей в единицу времени:

$$Q=S\upsilon$$

где $S$ - площадь поперечного сечения трубки, $\upsilon$ - скорость вытекания жидкости.

Тогда:

$$\upsilon=\frac{Q}{S}=\frac{Q}{\pi R^{2}} \tag{4}$$

Подставим (3) в (4):

$$\upsilon=\frac{1}{\pi R^{2}}\cdot \frac{\pi R^{4}\rho g\sin\alpha}{8\eta}=\frac{R^{2}\rho g\sin\alpha}{8\eta}$$

В процессе вытекания крайняя граница жидкости должна пройти весь путь $l$:

$$t=\frac{l}{\upsilon}=\frac{8\eta l}{R^{2}\rho g\sin\alpha}$$

Выразим радиус через диаметр: $R=\frac{d}{2}$.

Окончательно получим:

$$t=\frac{32\eta l}{\rho gd^{2}\sin\alpha}$$