9.3.7. По плоской поверхности, изображенной на рисунке, течет ток линейной плотности $i$. Докажите, что составляющая индукции магнитного поля, параллельная поверхности и перпендикулярная направлению $i$, определяется формулой $$B_{\parallel} =\frac{\mu_0i\Omega}{4\pi}$$ в СИ и $$B_{\parallel} = \frac{i\Omega}{c}$$ в СГС, где $\Omega$ — телесный угол, под которым видна поверхность.
Решение
Для начала вспомним закон Био-Савара-Лапласа
$$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I [d\vec{l} \times \vec{r}]}{r^3} \tag{1}$$
Магнитное поле создаётся движущимися зарядами. Их скорость можно представить как $\vec v=\frac{d\vec l}{dt}$. Учтём также, что ток равен $I=\frac{dq}{dt}$. Тогда (1) можно записать в виде
$$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{dq [d\vec{l} \times \vec{r}]}{dt \cdot r^3}= \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{dq [\vec{v} \times \vec{r}]}{r^3}$$
Рассмотрим заряд $q$, который движется со скоростью $v$. Он будет создавать магнитное поле
$$\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q [\vec{v} \times \vec{r}]}{r^3}\tag{2}$$
и электрическое поле
$$\vec E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\cdot \vec r}{r^3}\tag{3}$$
А если выразить магнитное поле через электрическое, можно получить очень красивую формулу
$$\vec{B} = \mu_0\varepsilon_0 [\vec{v} \times \vec{E}]\tag{4}$$
Эта формула справедлива для любого заряженного тела и показывает взаимосвязь явлений электричества и магнетизма
Собственно, нас интересует параллельная плоской поверхности составляющая магнитного поля.Учитывая что скорость $v$ сонаправлена с током и пользуясь правилами векторного произведения, получим $$B_{\parallel} = \mu_0\varepsilon_0 vE_{\perp}\tag{5}$$ Тут сразу вспоминается задача $6.1.19$, где была доказана теорема о перпендикулярном компоненте напряжённости электрического поля участка равномерно заряженной плоскости: $$E_\perp = \frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}\tag{6}$$
где $\sigma=\frac{dq}{dS}$ - поверхностная плотность зарядов, $\Omega$ — телесный угол, под которым видна поверхность. Поэтому перепишем (5): $$B_{\parallel} = \mu_0\varepsilon_0 v\frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}=\mu_0 \frac{d l}{dt}\frac{dq}{dS}\frac{\Omega}{4\pi}=\frac{\mu_0i\Omega}{4\pi}\tag{7}$$ В СГС используются другие основные единицы и константы, причем существуют разные ее виды (Гауссова, СГСМ, СГСЭ). Одним из возможных вариантов преобразоания СИ-СГС является $\frac{\mu_0}{4\pi}=\frac{1}{c}$, где $c$ - скорость света в вакууме
Ответ
$B_{\parallel} =\frac{\mu_0i\Omega}{4\pi}$ в СИ и $B_{\parallel} = \frac{iΩ}{c}$ в СГС, где Ω — телесный угол, под которым видна поверхность.
