| @@ -1,15 +1,36 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $9.3.10.$ [Вставьте условие задачи] |
| | + | $9.3.10.$ По поверхности полубесконечного кругового цилиндра радиуса $R$ течет поперечный ток линейной плотности $i$. |
| | | |
| | + | $а.$ Определите составляющую индукции магнитного поля вдоль оси цилиндра в крайнем его сечении $AA′$. |
| | + | |
| | + | $б.$ Как зависит индукция магнитного поля на оси цилиндра от расстояний $x_1$ и $x_2$ до его конца? Чему равна эта индукция на больших расстояниях от цилиндра? |
| | + | |
| | | ### Решение |
| | | |
| | − |  |
| | + |  |
| | + | Для решения воспользуемся полученной в задаче $9.3.7$ формулой |
| | + | $$B_{\parallel} =\frac{\mu_0i\Omega}{4\pi}\tag{1}$$ |
| | + | где $\Omega$ — телесный угол, под которым видна поверхность. |
| | | |
| | − | По поверхности полубесконечного кругового цилиндра радиуса $R$ течет поперечный ток линейной плотности $i$. |
| | − | $а.$ Определите составляющую индукции магнитного поля вдоль оси цилиндра в крайнем его сечении $AA′$. |
| | − | $б.$ Как зависит индукция магнитного поля на оси цилиндра от расстояний $x_1$ и $x_2$ до его конца? Чему равна эта индукция на больших расстояниях от цилиндра? |
| | + | $а.$ В сечении AA′ телесный угол $\Omega=2\pi$.(Можно представить себя находящимся в сечении $AA′$, тогда половину видимого пространства будет "занимать" поверхность цилиндра) |
| | | |
| | + | Тогда составляющая индукции магнитного поля вдоль оси цилиндра (а значит, параллельная поверхности с током) равна |
| | + | $$ B=\frac{\mu_0i\cdot2\pi}{4\pi}=\frac{1}{2}\mu_0i$$ |
| | + | |
| | + | $б. 1)$ Рассмотрим расстояние $x_1$. Находясь на оси цилиндра мы видим его как кольцо, причем под телесным углом, эквивалентном телесному углу круглого конуса с основанием радиуса $R$ и высотой $x_1$.Тогда |
| | + | $$\Omega = 2\pi (1 - \cos\alpha)\tag{2}$$ |
| | + | где $\alpha$ - угол полураствора конуса, |
| | + | $$\cos\alpha=\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+R^2}}$$ |
| | + | Формула (2) была выведена в задаче $9.3.18$. Подставляя всё это в (1): |
| | + | $$ B=\frac{\mu_0i}{4\pi}\cdot2\pi\left( {1-\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+R^2}}} \right)=\frac{1}{2}\mu_0i\left( {1-\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{R}{x_1})^2}}} \right)\tag{3}$$ |
| | + | $2)$ Теперь рассмотрим $x_2$. В этом случае телесный угол будет разностью полного телесного угла и телесного угла конуса, аналогичного описанному в п.$1$. |
| | + | $$ B=\frac{\mu_0i}{4\pi}\cdot\left( {4\pi-2\pi\left( {1-\frac{x_2}{\sqrt{x_2^2+R^2}}} \right)}\right)=\frac{\mu_0i}{4\pi}\cdot2\pi\left( {1+\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{R}{x_2})^2}}} \right)$$ |
| | + | $$ B=\frac{1}{2}\mu_0i\left( {1+\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{R}{x_2})^2}}} \right)\tag{4}$$ |
| | | #### Ответ |
| | | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] |
| | + | $a. B=\frac{1}{2}\mu_0i$ |
| | + | |
| | + | $б. B=\frac{1}{2}\mu_0i\left( {1-\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{R}{x_1})^2}}} \right)$ |
| | + | |
| | + | $ B=\frac{1}{2}\mu_0i\left( {1+\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{R}{x_2})^2}}} \right)$ |
