Решение

$а.$ В сечении AA′ телесный угол $\Omega=2\pi$.(Можно представить себя находящимся в сечении $AA′$, тогда половину видимого пространства будет "занимать" поверхность цилиндра)

Тогда составляющая индукции магнитного поля вдоль оси цилиндра (а значит, параллельная поверхности с током) равна
$$B=\frac{\mu_0i\cdot2\pi}{4\pi}=\frac{1}{2}\mu_0i\tag{2}$$

$б. 1)$ Рассмотрим расстояние $x_1$. Находясь на оси цилиндра мы видим его как кольцо, причем под телесным углом, эквивалентном телесному углу круглого конуса с основанием радиуса $R$ и высотой $x_1$.Тогда
$$\Omega = 2\pi (1 - \cos\alpha)\tag{3}$$
где $\alpha$ - угол полураствора конуса,
$$\cos\alpha=\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+R^2}}$$
Формула (2) была выведена в задаче $9.3.18$. Подставляя всё это в (1):
$$B=\frac{\mu_0i}{4\pi}\cdot2\pi\left( {1-\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+R^2}}} \right)=\frac{1}{2}\mu_0i\left( {1-\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{R}{x_1})^2}}} \right)\tag{4}$$
Проанализируем полученное выражение:

При $x_1\to0\qquad B\to\frac{1}{2}\mu_0i$, что соответствует выражению (2)

При $x_1\to\infty\qquad B\to0$*

*Савченко руководствовался немного другой логикой, используя приближение $(1+n)^{\alpha}\approx1+\alpha n$ для малых $n$. Тогда при $x_1\to\infty\qquad\frac{R}{x_1}\ll1$

$$B=\frac{1}{2}\mu_0i\left( {1-\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{R}{x_1})^2}}} \right)=\frac{1}{2}\mu_0i\left( {1-\left( {1+\left( {\frac{R}{x_1}} \right)^2} \right)^{-\frac{1}{2}}} \right)\approx\frac{1}{2}\mu_0i\left( {1-1+\frac{1}{2}\left( {\frac{R}{x_1}} \right)^2} \right)$$
$$B\approx\frac{1}{4}\mu_0i\left( {\frac{R}{x_1}} \right)^2$$
$2)$ Теперь рассмотрим $x_2$. В этом случае телесный угол будет разностью полного телесного угла и телесного угла конуса, аналогичного описанному в п.$1$.
$$B=\frac{\mu_0i}{4\pi}\cdot\left( {4\pi-2\pi\left( {1-\frac{x_2}{\sqrt{x_2^2+R^2}}} \right)}\right)=\frac{\mu_0i}{4\pi}\cdot2\pi\left( {1+\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{R}{x_2})^2}}} \right)$$
$$B=\frac{1}{2}\mu_0i\left( {1+\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{R}{x_2})^2}}} \right)\tag{5}$$
Проанализируем полученное выражение:

При $x_1\to0\qquad B\to\frac{1}{2}\mu_0i$, что соответствует выражению (2)

При $x_1\to\infty\qquad\Omega\to4\pi$, $B\to\mu_0i$