$9.2.17^*.$ Определите индукцию магнитного поля прямоугольной рамки $a \times b$ с током $I$ в точке $A$, находящейся на расстоянии $r$, много большем линейных размеров рамки. Радиус-вектор $\vec{r}$ образует с плоскостью рамки угол $\alpha$
@@ -5,22 +5,21 @@Условие
### Решение
−
Если вам нужно не готовое решение, а хинт, то обратитесь к
−
[листку "Магнитный диполь" на Mathus](https://mathus.ru/phys/mdipole.pdf)
+
Если вам нужно не готовое решение, а хинт, то обратитесь к [листку "Магнитный диполь" на Mathus](https://mathus.ru/phys/mdipole.pdf)
−
В данной задаче мы имеем дело с магнитным диполем - замкнутым контуром с током. Поэтому введем новую величину - дипольный момент, который определяется как $M=Iab$
+
В данной задаче мы имеем дело с магнитным диполем - маленьким замкнутым контуром с током.
Сначала рассмотрим несколько частных случаев этой задачи.
−
$1)$ Пусть точка наблюдения $P$ расположена на прямой, проходящей через центр $O$
+
$1)$ Пусть точка наблюдения $A$ расположена на прямой, проходящей через центр $O$
прямоугольника перпендикулярно его плоскости.
−
Заметим, точка $P$ лежит на серединном перпендикуляре к каждой стороне прямоунольника, однако если её чуть-чуть "подвигать" результат почти не изменится.
+
Заметим, точка $A$ лежит на серединном перпендикуляре к каждой стороне прямоунольника, однако если её чуть-чуть "подвигать" результат почти не изменится.
−
Магнитный провод длины $l$ создаёт магнитное поле равное
+
Магнитный провод длины $l$ создаёт в точке, лежащей на серединном перпендикуляре к этому проводу на расстоянии $h$ от него, магнитное поле равное
$$B=\int dB=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int\frac{dl\cdot r \sin\alpha}{r^3}=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_{\alpha_0}^{\pi-\alpha_0}\frac{hd\alpha}{\sin^2\alpha}\div\frac{h^2}{\sin^2\alpha}\cdot\sin\alpha$$
$$
B=\frac{\mu_0I}{2\pi h}\cos\alpha_0\tag{1}
$$
и направленное перпендикулярно плоскости $h$ и $l$
Применим эти формулы к проводам длиной $b$. Используем приближение
$$h=\sqrt{\frac{a^2}{4}+r^2}\approx r$$
Пусть $\beta$ - угол между $h$ и проекцией $h$ на плоскость прямоугольника. Тогда
$$\cos\alpha_0=\frac{b}{2r}$$
$$\cos\beta=\frac{a}{2r}$$
Векторно складывая поля, создаваемые 2 проводами длиной $b$ получим суммарное поле
$2)$ Пусть точка наблюдения $Q$ находится в плоскости контура на продолжении средней
линии прямоугольника.
Заметим, что в этом случае одна из пар проводов лежит практически на на линии $\vec r$, и поэтому (помним про векторное умножение в законе био савара лапласа) практически не вносит вклада в поле в точке наблюдения.
Провода второй пары (например, длиной $b$) создают в точке наблюдения поля, направленные строго противоположно. Тогда пусть $h\approx r\pm\frac{a}{2}$
Используем приближение $\left({1\pm\frac{a}{2r}}\right)^{-\frac{1}{2}}\approx1\mp\frac{a}{4r}$ и получим:
$$B_2=\frac{\mu_0Iab}{4\pi r^3}$$
Снова отметим, что если немного подвигать точку наблюдения или "покрутить" контур в исходной плоскости ответ практически не изменится, так как такие изменения положения находятся в рамках сделанных приближений.
Для удобства дальнейших выкладок введём вектор магнитного момента диполя, равного $\vec p=I\vec S, \qquad p=Iab$ (Вектор площади витка направлен перпендикулярно его плоскости).
Тогда перепишем в векторной форме полученные ранее выражения:
$$\vec B_1=\frac{\mu_0\vec p}{2\pi r^3}\tag{3}$$
$$\vec B_2=-\frac{\mu_0\vec p}{4\pi r^3}$$
$3)$ Теперь рассмотрим более общий случай, описанный в условии
Представим магнитный момент нашего контура в виде суммы $\vec p=\vec p_1+\vec p_2$, причем пусть $\vec p_1$ направлен параллельно $\vec r$, а $\vec p_2$ - перпендикулярно.
Физически это можно представить так: поместим на линии наблюдения рядом с контуром токи равные $\pm I$, так, чтобы возникло 2 новых магнитных диполя, перпендикулярных друг другу.
$9.2.17^*.$ Определите индукцию магнитного поля прямоугольной рамки $a \times b$ с током $I$ в точке $A$, находящейся на расстоянии $r$, много большем линейных размеров рамки. Радиус-вектор $\vec{r}$ образует с плоскостью рамки угол $\alpha$
$9.2.17^*.$ Определите индукцию магнитного поля прямоугольной рамки $a \times b$ с током $I$ в точке $A$, находящейся на расстоянии $r$, много большем линейных размеров рамки. Радиус-вектор $\vec{r}$ образует с плоскостью рамки угол $\alpha$
@@ -5,22 +5,21 @@Условие
### Решение
### Решение
Если вам нужно не готовое решение, а хинт, то обратитесь к
Если вам нужно не готовое решение, а хинт, то обратитесь к [листку "Магнитный диполь" на Mathus](https://mathus.ru/phys/mdipole.pdf)
[листку "Магнитный диполь" на Mathus](https://mathus.ru/phys/mdipole.pdf)
В данной задаче мы имеем дело с магнитным диполем - замкнутым контуром с током. Поэтому введем новую величину - дипольный момент, который определяется как $M=Iab$
В данной задаче мы имеем дело с магнитным диполем - маленьким замкнутым контуром с током.
Сначала рассмотрим несколько частных случаев этой задачи.
Сначала рассмотрим несколько частных случаев этой задачи.
$1)$ Пусть точка наблюдения $P$ расположена на прямой, проходящей через центр $O$
$1)$ Пусть точка наблюдения $A$ расположена на прямой, проходящей через центр $O$
прямоугольника перпендикулярно его плоскости.
прямоугольника перпендикулярно его плоскости.
Заметим, точка $P$ лежит на серединном перпендикуляре к каждой стороне прямоунольника, однако если её чуть-чуть "подвигать" результат почти не изменится.
Заметим, точка $A$ лежит на серединном перпендикуляре к каждой стороне прямоунольника, однако если её чуть-чуть "подвигать" результат почти не изменится.
Магнитный провод длины $l$ создаёт магнитное поле равное
Магнитный провод длины $l$ создаёт в точке, лежащей на серединном перпендикуляре к этому проводу на расстоянии $h$ от него, магнитное поле равное
$$B=\int dB=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int\frac{dl\cdot r \sin\alpha}{r^3}=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_{\alpha_0}^{\pi-\alpha_0}\frac{hd\alpha}{\sin^2\alpha}\div\frac{h^2}{\sin^2\alpha}\cdot\sin\alpha$$
$$B=\int dB=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int\frac{dl\cdot r \sin\alpha}{r^3}=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_{\alpha_0}^{\pi-\alpha_0}\frac{hd\alpha}{\sin^2\alpha}\div\frac{h^2}{\sin^2\alpha}\cdot\sin\alpha$$
$$
$$
B=\frac{\mu_0I}{2\pi h}\cos\alpha_0\tag{1}
B=\frac{\mu_0I}{2\pi h}\cos\alpha_0\tag{1}
$$
$$
и направленное перпендикулярно плоскости $h$ и $l$
и направленное перпендикулярно плоскости $h$ и $l$
Применим эти формулы к проводам длиной $b$. Используем приближение
Применим эти формулы к проводам длиной $b$. Используем приближение
$$h=\sqrt{\frac{a^2}{4}+r^2}\approx r$$
$$h=\sqrt{\frac{a^2}{4}+r^2}\approx r$$
Пусть $\beta$ - угол между $h$ и проекцией $h$ на плоскость прямоугольника. Тогда
Пусть $\beta$ - угол между $h$ и проекцией $h$ на плоскость прямоугольника. Тогда
$$\cos\alpha_0=\frac{b}{2r}$$
$$\cos\alpha_0=\frac{b}{2r}$$
$$\cos\beta=\frac{a}{2r}$$
$$\cos\beta=\frac{a}{2r}$$
Векторно складывая поля, создаваемые 2 проводами длиной $b$ получим суммарное поле
Векторно складывая поля, создаваемые 2 проводами длиной $b$ получим суммарное поле
$2)$ Пусть точка наблюдения $Q$ находится в плоскости контура на продолжении средней
$2)$ Пусть точка наблюдения $Q$ находится в плоскости контура на продолжении средней
линии прямоугольника.
линии прямоугольника.
Заметим, что в этом случае одна из пар проводов лежит практически на на линии $\vec r$, и поэтому (помним про векторное умножение в законе био савара лапласа) практически не вносит вклада в поле в точке наблюдения.
Заметим, что в этом случае одна из пар проводов лежит практически на на линии $\vec r$, и поэтому (помним про векторное умножение в законе био савара лапласа) практически не вносит вклада в поле в точке наблюдения.
Провода второй пары (например, длиной $b$) создают в точке наблюдения поля, направленные строго противоположно. Тогда пусть $h\approx r\pm\frac{a}{2}$
Провода второй пары (например, длиной $b$) создают в точке наблюдения поля, направленные строго противоположно. Тогда пусть $h\approx r\pm\frac{a}{2}$
Используем приближение $\left({1\pm\frac{a}{2r}}\right)^{-\frac{1}{2}}\approx1\mp\frac{a}{4r}$ и получим:
Используем приближение $\left({1\pm\frac{a}{2r}}\right)^{-\frac{1}{2}}\approx1\mp\frac{a}{4r}$ и получим:
$$B_2=\frac{\mu_0Iab}{4\pi r^3}$$
$$B_2=\frac{\mu_0Iab}{4\pi r^3}$$
Снова отметим, что если немного подвигать точку наблюдения или "покрутить" контур в исходной плоскости ответ практически не изменится, так как такие изменения положения находятся в рамках сделанных приближений.
Снова отметим, что если немного подвигать точку наблюдения или "покрутить" контур в исходной плоскости ответ практически не изменится, так как такие изменения положения находятся в рамках сделанных приближений.
Для удобства дальнейших выкладок введём вектор магнитного момента диполя, равного $\vec p=I\vec S, \qquad p=Iab$ (Вектор площади витка направлен перпендикулярно его плоскости).
Для удобства дальнейших выкладок введём вектор магнитного момента диполя, равного $\vec p=I\vec S, \qquad p=Iab$ (Вектор площади витка направлен перпендикулярно его плоскости).
Тогда перепишем в векторной форме полученные ранее выражения:
Тогда перепишем в векторной форме полученные ранее выражения:
$$\vec B_1=\frac{\mu_0\vec p}{2\pi r^3}\tag{3}$$
$$\vec B_1=\frac{\mu_0\vec p}{2\pi r^3}\tag{3}$$
$$\vec B_2=-\frac{\mu_0\vec p}{4\pi r^3}$$
$$\vec B_2=-\frac{\mu_0\vec p}{4\pi r^3}$$
$3)$ Теперь рассмотрим более общий случай, описанный в условии
$3)$ Теперь рассмотрим более общий случай, описанный в условии
Представим магнитный момент нашего контура в виде суммы $\vec p=\vec p_1+\vec p_2$, причем пусть $\vec p_1$ направлен параллельно $\vec r$, а $\vec p_2$ - перпендикулярно.
Представим магнитный момент нашего контура в виде суммы $\vec p=\vec p_1+\vec p_2$, причем пусть $\vec p_1$ направлен параллельно $\vec r$, а $\vec p_2$ - перпендикулярно.
Физически это можно представить так: поместим на линии наблюдения рядом с контуром токи равные $\pm I$, так, чтобы возникло 2 новых магнитных диполя, перпендикулярных друг другу.
Физически это можно представить так: поместим на линии наблюдения рядом с контуром токи равные $\pm I$, так, чтобы возникло 2 новых магнитных диполя, перпендикулярных друг другу.
