6.4.14∗. На непроводящий диск (1) наклеены четыре проводящих лепестка (2) площади $S$ каждый. При вращении диска лепестки поочередно входят в промежуток между экранирующими обкладками (3), касаясь при этом скользящих заземленных контактов (4). Контакт прерывается, когда лепесток выходит из обкладок. Затем лепесток касается электрода (5), подсоединенного к конденсатору емкости $C$. После прерывания контакта с электродом лепесток входит в зазор второй пары обкладок и т. д. Во сколько раз напряжение на конденсаторе увеличится после $n$ оборотов диска? Зазор между лепестком и экранирующими обкладками $d$ мал по сравнению с размерами лепестка.
[P.S. В условии необходимо указать, что конденсатор заряженный]
Решение
В этой задаче описывается принцип работы электростатической машины, способной с помощью механической работы генерировать достаточно большие напряжения.
Пусть после $k$ оборотов диска напряжение на конденсаторе равно $U_k$, потенциалы на его обкладках равны $\pm\varphi$. $$\varphi-(-\varphi)=2\varphi=U_k\tag{1}$$ Когда лепесток касается заземлённого контакта, его потенциал равен 0. Когда проводящий лепесток (2) входит в промежуток между экранирующими обкладками (3)(напримеря, подключёнными к обкладке с потенциалом $\varphi$) он становится частью 2 плоских конденсаторов (паралленльно соединенных) с площадью пластин $S$ и зазором $d$.Каждый конденсатор имеет ёмкость $$C_0 = \frac{\varepsilon_0S}{d}\tag{2}$$ Разность потенциалов на каждом конденсаторе равна $\varphi-0=\varphi$. Поэтому на лепестке индуцируется заряд $$\Delta q=2\varphi C_0=U_kC_0\tag{3}$$ Этот заряд при касании с электродом (5) перераспределяется между конденсатором $C$ и двумя конденсаторами $C_0$ , в это же время противоположный лепесток (как следует из аналогичных рассуждений) передаёт на вторую половину цепи заряд $-\Delta q$. Одновременно вторая пара лепестков входит в экранирующие обкладки.
Эквивалентная схема
На конденсатор $C$ поступает заряд
$$\Delta q'=\Delta q\frac{C}{C+C_0}=\frac{U_kC_0C}{C+C_0}\tag{4}$$
Поэтому напряжение на конденсаторе увеличивается:
$$U_{k+1}=\frac{q}{C}=\frac{1}{C}\left({\frac{U_kC_0C}{C+C_0}+U_kC}\right)=U_k\left({1+\frac{C_0}{C+C_0}}\right)\tag{5}$$
В этой формуле несложно узнать рекуррентное соотношение для геометрической прогрессии. Пользуясь свойствами такой прогрессиии, найдем напряжение на конденсаторе после $N$ циклов:
$$U_{N}=U_0\left({1+\frac{C_0}{C+C_0}}\right)^N\tag{6}$$
Теперь учтем, что за один оборот диска каждый из 4 лепестков проходит 2 цикла, а в одном цикле учавствуют 2 лепестка, поэтому итоговый ответ: $$\frac{U}{U_0}=\left({\frac{Cd+2\varepsilon_0S}{Cd+\varepsilon_0S}}\right)^{4n}$$
