| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $3.3.23.$ В момент времени $t_0$ координата тела, совершающего колебания с | | $3.3.23.$ В момент времени $t_0$ координата тела, совершающего колебания с |
| частотой $ω$, равна $x_0$, а скорость равна $v_0$. Докажите, что зависимость координаты тела от времени можно представить в виде: | | частотой $ω$, равна $x_0$, а скорость равна $v_0$. Докажите, что зависимость координаты тела от времени можно представить в виде: |
| | | |
| $$x(t)=x_0 \hspace{0.1cm} cos[w(t-t_0)] \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} (v_0/\omega) \hspace{0.1cm} sin[w(t-t_0)]$$ | | $$x(t)=x_0 \hspace{0.1cm} cos[w(t-t_0)] \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} (v_0/\omega) \hspace{0.1cm} sin[w(t-t_0)]$$ |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Уравнение гормонического колебания | | Уравнение гормонического колебания |
| | | |
| . | | . |
| | | |
| $$x(t)=A \hspace{0.1cm} cos(wt) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} B \hspace{0.1cm} sin(wt) $$\ | | $$x(t)=A \hspace{0.1cm} cos(wt) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} B \hspace{0.1cm} sin(wt) $$\ |
| $$v(t)=-wA \hspace{0.1cm} sin(wt) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} wB \hspace{0.1cm} cos(wt)$$ | | $$v(t)=-wA \hspace{0.1cm} sin(wt) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} wB \hspace{0.1cm} cos(wt)$$ |
| | | |
| . | | . |
| | | |
| Для момента $t=t_0$ | | Для момента $t=t_0$ |
| | | |
| . | | . |
| | | |
| $$x_0=A \hspace{0.1cm} cos(wt_0) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} B \hspace{0.1cm} sin(wt_0) $$\ | | $$x_0=A \hspace{0.1cm} cos(wt_0) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} B \hspace{0.1cm} sin(wt_0) $$\ |
| $$v_0=-wA \hspace{0.1cm} sin(wt_0) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} wB \hspace{0.1cm} cos(wt_0)$$ | | $$v_0=-wA \hspace{0.1cm} sin(wt_0) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} wB \hspace{0.1cm} cos(wt_0)$$ |
| | | |
| . | | . |
| | | |
| Из двух уравнении выводим значения постоянных $A, B$ | | Из двух уравнении выводим значения постоянных $A, B$ |
| | | |
| . | | . |
| | | |
| $$A=\frac{wx_0cos(wt_0)-v_0 sin(wt_0)}{w}$$\ | | $$A=\frac{wx_0cos(wt_0)-v_0 sin(wt_0)}{w}$$\ |
| $$B=\frac{wx_0sin(wt_0)+v_0cos(wt_0)}{w}$$ | | $$B=\frac{wx_0sin(wt_0)+v_0cos(wt_0)}{w}$$ |
| | | |
| . | | . |
| | | |
| Находим зависимость $x(t)$ | | Находим зависимость $x(t)$ |
| Воспользуемся тригонометрическими преоброзованиями | | Воспользуемся тригонометрическими преоброзованиями |
| | | |
| . | | . |
| | | |
| $$cos[w(t-t_0)]=cos(wt)cos(wt_0)+sin(wt)sin(wt_0)$$\ | | $$cos[w(t-t_0)]=cos(wt)cos(wt_0)+sin(wt)sin(wt_0)$$\ |
| $$sin[w(t-t_0)]=sin(wt)cos(wt_0)-sin(wt_0)cos(wt)$$\ | | $$sin[w(t-t_0)]=sin(wt)cos(wt_0)-sin(wt_0)cos(wt)$$\ |
| $$x(t)=x_0 \hspace{0.1cm} cos[w(t-t_0)] \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} (v_0/\omega) \hspace{0.1cm} sin[w(t-t_0)]$$ | | $$x(t)=x_0 \hspace{0.1cm} cos[w(t-t_0)] \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} (v_0/\omega) \hspace{0.1cm} sin[w(t-t_0)]$$ |
| | | |
| . | | . |
| | | |
| | | |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $$x(t)=x_0 \hspace{0.1cm} cos[w(t-t_0)] \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} (v_0/\omega) \hspace{0.1cm} sin[w(t-t_0)]$$ | | $$x(t)=x_0 \hspace{0.1cm} cos[w(t-t_0)] \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} (v_0/\omega) \hspace{0.1cm} sin[w(t-t_0)]$$ |
