$6.6.29.$ Найдите дипольный момент проводящего шарика радиуса $r$, помещенного в однородное электрическое поле напряженности $E$. Воспользуйтесь решением задачи $6.2.14.$
Поле внутри проводника всегда равно 0, значит, индуцированные заряды на поверхности шарика должны создать внутри шарика поле, компенсирующее внешнее поле. $$\vec E_{ind}=-\vec E$$ В задаче $6.2.14$ мы нашли, что поверхностная плотность индуцированных зарядов, необходимая для создания однороднго поля внутри шара, равна $$\sigma = -3\varepsilon_0E\cos\theta$$ где $\theta$— угол между направлением поля и радиусом, проведенным в точку на сфере. Заметим, что на одной стороне шарика будут сгруппированы положительнвые заряды, на другой - отрицательный. Поэтому шарик является диполем достаточно сложной конфигурации. Дипольный момент точечного диполя опрееделяется как $\vec p=q\vec d$
Рассмотрим этот шарик в сферической системе координат: $$dS=r^2\sin\theta d\theta d\varphi$$ Рассмотрим "элементарный" диполь, составленный из заряда на некотором участке поверхности шара $dq$, и заряда противоположного знака, находящегося диаметрально противоположно. $$dq=\sigma dS, ~dp=2rdq$$ Суммарный дипольный момент равен векторной сумме дипольных моментов таких "элементарных" диполей. Найдём его, интегрируя по половине шарика: $$p=\int dp\cos\theta=2r\cdot3\varepsilon_0E r^2\int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos^2\theta d\theta\int_0^{2\pi}d\varphi$$ $$p = 4\pi\varepsilon_0r^3E$$