| @@ -1,12 +1,10 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $6.6.29.$ [Вставьте условие задачи] |
| |
| |
| |
| ### Решение |
| |
| |
| |
| $6.6.29.$ |
| $6.6.29.$ |
| Найдите дипольный момент проводящего шарика радиуса $r$, помещенного в однородное электрическое поле напряженности $E$. Воспользуйтесь решением задачи $6.2.14.$ |
| Найдите дипольный момент проводящего шарика радиуса $r$, помещенного в однородное электрическое поле напряженности $E$. Воспользуйтесь решением задачи $6.2.14.$ |
| |
| |
| |
| ### Решение |
| |
| |
| Поле внутри проводника всегда равно 0, значит, индуцированные заряды на поверхности шарика должны создать внутри шарика поле, компенсирующее внешнее поле. |
| Поле внутри проводника всегда равно 0, значит, индуцированные заряды на поверхности шарика должны создать внутри шарика поле, компенсирующее внешнее поле. |
| $$ |
| $$ |
| \vec E_{ind}=-\vec E |
| \vec E_{ind}=-\vec E |
| $$ | | $$ |
| В задаче $6.2.14$ мы нашли, что поверхностная плотность индуцированных зарядов, необходимая для создания однороднго поля внутри шара, равна | | В задаче $6.2.14$ мы нашли, что поверхностная плотность индуцированных зарядов, необходимая для создания однороднго поля внутри шара, равна |
| $$ | | $$ |
| \sigma = -3\varepsilon_0E\cos\theta | | \sigma = -3\varepsilon_0E\cos\theta |
| $$ | | $$ |
| где $\theta$— угол между направлением поля и радиусом, проведенным в точку на сфере. Заметим, что на одной стороне шарика будут сгруппированы положительнвые заряды, на другой - отрицательный. Поэтому шарик является диполем достаточно сложной конфигурации. | | где $\theta$— угол между направлением поля и радиусом, проведенным в точку на сфере. Заметим, что на одной стороне шарика будут сгруппированы положительнвые заряды, на другой - отрицательный. Поэтому шарик является диполем достаточно сложной конфигурации. |
| Дипольный момент точечного диполя опрееделяется как $\vec p=q\vec d$ | | Дипольный момент точечного диполя опрееделяется как $\vec p=q\vec d$ |
| | | |
| Рассмотрим этот шарик в сферической системе координат: | | Рассмотрим этот шарик в сферической системе координат: |
| $$ | | $$ |
| dS=r^2\sin\theta d\theta d\varphi | | dS=r^2\sin\theta d\theta d\varphi |
| $$ | | $$ |
| Рассмотрим "элементарный" диполь, составленный из заряда на некотором участке поверхности шара $dq$, и заряда противоположного знака, находящегося диаметрально противоположно. | | Рассмотрим "элементарный" диполь, составленный из заряда на некотором участке поверхности шара $dq$, и заряда противоположного знака, находящегося диаметрально противоположно. |
| $$ | | $$ |
| dq=\sigma dS, ~dp=2rdq | | dq=\sigma dS, ~dp=2rdq |
| $$ | | $$ |
| Суммарный дипольный момент равен векторной сумме дипольных моментов таких "элементарных" диполей. Найдём его, интегрируя по половине шарика: | | Суммарный дипольный момент равен векторной сумме дипольных моментов таких "элементарных" диполей. Найдём его, интегрируя по половине шарика: |
| $$ | | $$ |
| p=\int dp\cos\theta=2r\cdot3\varepsilon_0E r^2\int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos^2\theta d\theta\int_0^{2\pi}d\varphi | | p=\int dp\cos\theta=2r\cdot3\varepsilon_0E r^2\int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos^2\theta d\theta\int_0^{2\pi}d\varphi |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
