Правка раздела «Решение»

jzmicer правка от 6 июл. 2025 г., 14:07

правка #15003 предыдущая #15002 ← раньше позже →

ru/6.4.9.md +2 −4

			### Условие

			$6.4.9.$ Определите емкость систем конденсаторов, изображенных на рисунке.
			![\|682x580, 90%](../../img/6.4.9/6.4.9.png)

			### Решение
			В общем случае ёмкость системы конденсаторов равна:
			$$
			C_{total}=\frac{q_{total}}{U_{total}}
			$$
			$а.$При последовательном соединении конденсаторов ток через них одинаков, значит, заряды на них в любой момент времени одинаковы. Тогда для $n$ последовательно соединённых конденсаторов:
			$$
			q_{total}=q_1=q_2=...=q_n
			$$
			$$
			U_{total}=\sum_{i=1}^n U_i=\sum_{i=1}^n\frac{q_{total}}{C_i}
			$$
			$$
			\frac{1}{C_{total}}=\frac{U_{total}}{q_{total}}=\sum_{i=1}^n\frac{1}{C_i}
			$$
			В нашем случае:
			$$
			\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}
			$$
			$$
			C=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}
			$$
			При параллельном соединении конденсаторов напряжение на них одинаково. Тогда
			$$
			U_{total}=U_1=U_2=...=U_n
			$$
			$$
			q_{total}=\sum_{i=1}^n q_i=\sum_{i=1}^n U_{total}C_i
			$$
			$$
			C_{total}=\frac{q_{total}}{U_{total}}=\sum_{i=1}^nC_i
			$$
			В нашем случае:
			$$
			C=C_1=C_2
			$$
			$б.$ Из симметриии цепи можно заметить, потенциалы на концах "мостика" одинаковы, значит, напряжение и заряд на конденсаторе на "мостике" равны 0 и он не вносит вклад в общую ёмкость.
			Исключая мостик, получим цепь, являющуюся комбинацией рассмотренных в пункте $а.$ случаев.
			$$
			C'=\frac{2C\cdot C}{2C+C}=\frac{2}{3}C
			$$
			$$
			C_{total}=2C'=\frac{4}{3}C
			$$
		@@ -50,10 +50,8 @@Решение
			$в.$
			![\|313x178, 40%](../../img/6.4.9/6.4.9-1.png)
			Тут цепь уже не симметрична, и "выкинуть" мостик не получится. Такие цепи обычно рассчитываются с помощью правил Кирхгофа.
		−	Но через заряженные конденсаторы ток не течёт, поэтому первое правило Кирхгофа необходимо переформулировать:
		−	$$
		−	\sum I=0\Rightarrow\sum q=0
		−	$$
		+	Но через заряженные конденсаторы ток не течёт, поэтому первое правило Кирхгофа необходимо переформулировать: сумма зарядов, поступающих в узел, должна быть равна сумме зарядов, выходящих из него за определенный промежуток времени:
		+
			Уравнения для 1 правила:
			$$\begin{cases}
			q_{total}=q_1+q_2\\
			q_1=q_3+q_4 \\
			q_2+q_3=q_5
			\end{cases}$$
			Для 2 правила:
			$$\begin{cases}
			\frac{q_1}{C}+\frac{q_3}{C}=\frac{q_2}{2C}\\
			\frac{q_4}{2C}=\frac{q_3}{C}+\frac{q_5}{C}\\
			\frac{q_2}{2C}+\frac{q_5}{C}=U_{total}
			\end{cases}$$

			Решая систему из этих уравнений получим:
			$$
			C_{total}=\frac{q_{total}}{U_{total}}=\frac{7}{5}C
			$$
			$г.$ Идея решения бесконечных цепей такая: при добавлении к бесконечной цепочке ещё одного звена она останется бесконечной, значит, её общая ёмкость не поменяется.
			![\|481x307, 50%](../../img/6.4.9/6.4.9-3.png)
			$$
			\frac{C(C_{total}+C)}{C_{total}+2C}=C_{total}
			$$
			$$
			C_{total}^2+C_{total}C-C^2=0
			$$
			Решая это квадратное уравнение и выбирая положительный корень, получим:
			$$
			C_{total}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}C
			$$
			$д.$
			Из симметрии нетрудно заметить, что некоторые узлы куба имеют одинаковые потенциалы:
			![\|596x526, 40%](../../img/6.4.9/6.4.9-2.png)
			Эти узлы мы можем соединить, не изменив цепь:
			![Все конденсаторы имеют ёмкость $C$\|842x587, 60%](../../img/6.4.9/6.4.9-4.png)
			Используя результаты пункта $а.$ можно упростить цепь:
			![\|500x366, 50%](../../img/6.4.9/6.4.9-5.png)
			Получаем задачу, аналогичную пункту $в.$, которую можно решить с помощью правила Кирхгофа, причём уравнения для первого правила полностью одинаковы.
			$$\begin{cases}
			q_{total}=q_1+q_2\\
			q_1=q_3+q_4 \\
			q_2+q_3=q_5\\
			\frac{3q_1}{2C}+\frac{q_3}{2C}=\frac{q_2}{2C}\\
			\frac{q_4}{2C}=\frac{3q_5}{2C}+\frac{q_3}{2C}\\
			\frac{q_2}{2C}+\frac{3q_5}{2C}=U_{total}
			\end{cases}$$
			Решая эту систему, получим:
			$$
			C_{total}=\frac{6}{5}C
			$$

			#### Ответ

			$а.~C=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2},~C=C_1=C_2$

			$б.~C_{total}=\frac{4}{3}C$

			$в.~C_{total}=\frac{7}{5}C$

			$г.~C_{total}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}C$

			$д.~C_{total}=\frac{6}{5}C$
		ещё строк без изменений 58

	### Условие		### Условие

	$6.4.9.$ Определите емкость систем конденсаторов, изображенных на рисунке.		$6.4.9.$ Определите емкость систем конденсаторов, изображенных на рисунке.
	![\|682x580, 90%](../../img/6.4.9/6.4.9.png)		![\|682x580, 90%](../../img/6.4.9/6.4.9.png)

	### Решение		### Решение
	В общем случае ёмкость системы конденсаторов равна:		В общем случае ёмкость системы конденсаторов равна:
	$$		$$
	C_{total}=\frac{q_{total}}{U_{total}}		C_{total}=\frac{q_{total}}{U_{total}}
	$$		$$
	$а.$При последовательном соединении конденсаторов ток через них одинаков, значит, заряды на них в любой момент времени одинаковы. Тогда для $n$ последовательно соединённых конденсаторов:		$а.$При последовательном соединении конденсаторов ток через них одинаков, значит, заряды на них в любой момент времени одинаковы. Тогда для $n$ последовательно соединённых конденсаторов:
	$$		$$
	q_{total}=q_1=q_2=...=q_n		q_{total}=q_1=q_2=...=q_n
	$$		$$
	$$		$$
	U_{total}=\sum_{i=1}^n U_i=\sum_{i=1}^n\frac{q_{total}}{C_i}		U_{total}=\sum_{i=1}^n U_i=\sum_{i=1}^n\frac{q_{total}}{C_i}
	$$		$$
	$$		$$
	\frac{1}{C_{total}}=\frac{U_{total}}{q_{total}}=\sum_{i=1}^n\frac{1}{C_i}		\frac{1}{C_{total}}=\frac{U_{total}}{q_{total}}=\sum_{i=1}^n\frac{1}{C_i}
	$$		$$
	В нашем случае:		В нашем случае:
	$$		$$
	\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}		\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}
	$$		$$
	$$		$$
	C=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}		C=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}
	$$		$$
	При параллельном соединении конденсаторов напряжение на них одинаково. Тогда		При параллельном соединении конденсаторов напряжение на них одинаково. Тогда
	$$		$$
	U_{total}=U_1=U_2=...=U_n		U_{total}=U_1=U_2=...=U_n
	$$		$$
	$$		$$
	q_{total}=\sum_{i=1}^n q_i=\sum_{i=1}^n U_{total}C_i		q_{total}=\sum_{i=1}^n q_i=\sum_{i=1}^n U_{total}C_i
	$$		$$
	$$		$$
	C_{total}=\frac{q_{total}}{U_{total}}=\sum_{i=1}^nC_i		C_{total}=\frac{q_{total}}{U_{total}}=\sum_{i=1}^nC_i
	$$		$$
	В нашем случае:		В нашем случае:
	$$		$$
	C=C_1=C_2		C=C_1=C_2
	$$		$$
	$б.$ Из симметриии цепи можно заметить, потенциалы на концах "мостика" одинаковы, значит, напряжение и заряд на конденсаторе на "мостике" равны 0 и он не вносит вклад в общую ёмкость.		$б.$ Из симметриии цепи можно заметить, потенциалы на концах "мостика" одинаковы, значит, напряжение и заряд на конденсаторе на "мостике" равны 0 и он не вносит вклад в общую ёмкость.
	Исключая мостик, получим цепь, являющуюся комбинацией рассмотренных в пункте $а.$ случаев.		Исключая мостик, получим цепь, являющуюся комбинацией рассмотренных в пункте $а.$ случаев.
	$$		$$
	C'=\frac{2C\cdot C}{2C+C}=\frac{2}{3}C		C'=\frac{2C\cdot C}{2C+C}=\frac{2}{3}C
	$$		$$
	$$		$$
	C_{total}=2C'=\frac{4}{3}C		C_{total}=2C'=\frac{4}{3}C
	$$		$$
	@@ -50,10 +50,8 @@Решение
	$в.$		$в.$
	![\|313x178, 40%](../../img/6.4.9/6.4.9-1.png)		![\|313x178, 40%](../../img/6.4.9/6.4.9-1.png)
	Тут цепь уже не симметрична, и "выкинуть" мостик не получится. Такие цепи обычно рассчитываются с помощью правил Кирхгофа.		Тут цепь уже не симметрична, и "выкинуть" мостик не получится. Такие цепи обычно рассчитываются с помощью правил Кирхгофа.
	Но через заряженные конденсаторы ток не течёт, поэтому первое правило Кирхгофа необходимо переформулировать:		Но через заряженные конденсаторы ток не течёт, поэтому первое правило Кирхгофа необходимо переформулировать: сумма зарядов, поступающих в узел, должна быть равна сумме зарядов, выходящих из него за определенный промежуток времени:
	$$
	\sum I=0\Rightarrow\sum q=0
	$$
	Уравнения для 1 правила:		Уравнения для 1 правила:
	$$\begin{cases}		$$\begin{cases}
	q_{total}=q_1+q_2\\		q_{total}=q_1+q_2\\
	q_1=q_3+q_4 \\		q_1=q_3+q_4 \\
	q_2+q_3=q_5		q_2+q_3=q_5
	\end{cases}$$		\end{cases}$$
	Для 2 правила:		Для 2 правила:
	$$\begin{cases}		$$\begin{cases}
	\frac{q_1}{C}+\frac{q_3}{C}=\frac{q_2}{2C}\\		\frac{q_1}{C}+\frac{q_3}{C}=\frac{q_2}{2C}\\
	\frac{q_4}{2C}=\frac{q_3}{C}+\frac{q_5}{C}\\		\frac{q_4}{2C}=\frac{q_3}{C}+\frac{q_5}{C}\\
	\frac{q_2}{2C}+\frac{q_5}{C}=U_{total}		\frac{q_2}{2C}+\frac{q_5}{C}=U_{total}
	\end{cases}$$		\end{cases}$$

	Решая систему из этих уравнений получим:		Решая систему из этих уравнений получим:
	$$		$$
	C_{total}=\frac{q_{total}}{U_{total}}=\frac{7}{5}C		C_{total}=\frac{q_{total}}{U_{total}}=\frac{7}{5}C
	$$		$$
	$г.$ Идея решения бесконечных цепей такая: при добавлении к бесконечной цепочке ещё одного звена она останется бесконечной, значит, её общая ёмкость не поменяется.		$г.$ Идея решения бесконечных цепей такая: при добавлении к бесконечной цепочке ещё одного звена она останется бесконечной, значит, её общая ёмкость не поменяется.
	![\|481x307, 50%](../../img/6.4.9/6.4.9-3.png)		![\|481x307, 50%](../../img/6.4.9/6.4.9-3.png)
	$$		$$
	\frac{C(C_{total}+C)}{C_{total}+2C}=C_{total}		\frac{C(C_{total}+C)}{C_{total}+2C}=C_{total}
	$$		$$
	$$		$$
	C_{total}^2+C_{total}C-C^2=0		C_{total}^2+C_{total}C-C^2=0
	$$		$$
	Решая это квадратное уравнение и выбирая положительный корень, получим:		Решая это квадратное уравнение и выбирая положительный корень, получим:
	$$		$$
	C_{total}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}C		C_{total}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}C
	$$		$$
	$д.$		$д.$
	Из симметрии нетрудно заметить, что некоторые узлы куба имеют одинаковые потенциалы:		Из симметрии нетрудно заметить, что некоторые узлы куба имеют одинаковые потенциалы:
	![\|596x526, 40%](../../img/6.4.9/6.4.9-2.png)		![\|596x526, 40%](../../img/6.4.9/6.4.9-2.png)
	Эти узлы мы можем соединить, не изменив цепь:		Эти узлы мы можем соединить, не изменив цепь:
	![Все конденсаторы имеют ёмкость $C$\|842x587, 60%](../../img/6.4.9/6.4.9-4.png)		![Все конденсаторы имеют ёмкость $C$\|842x587, 60%](../../img/6.4.9/6.4.9-4.png)
	Используя результаты пункта $а.$ можно упростить цепь:		Используя результаты пункта $а.$ можно упростить цепь:
	![\|500x366, 50%](../../img/6.4.9/6.4.9-5.png)		![\|500x366, 50%](../../img/6.4.9/6.4.9-5.png)
	Получаем задачу, аналогичную пункту $в.$, которую можно решить с помощью правила Кирхгофа, причём уравнения для первого правила полностью одинаковы.		Получаем задачу, аналогичную пункту $в.$, которую можно решить с помощью правила Кирхгофа, причём уравнения для первого правила полностью одинаковы.
	$$\begin{cases}		$$\begin{cases}
	q_{total}=q_1+q_2\\		q_{total}=q_1+q_2\\
	q_1=q_3+q_4 \\		q_1=q_3+q_4 \\
	q_2+q_3=q_5\\		q_2+q_3=q_5\\
	\frac{3q_1}{2C}+\frac{q_3}{2C}=\frac{q_2}{2C}\\		\frac{3q_1}{2C}+\frac{q_3}{2C}=\frac{q_2}{2C}\\
	\frac{q_4}{2C}=\frac{3q_5}{2C}+\frac{q_3}{2C}\\		\frac{q_4}{2C}=\frac{3q_5}{2C}+\frac{q_3}{2C}\\
	\frac{q_2}{2C}+\frac{3q_5}{2C}=U_{total}		\frac{q_2}{2C}+\frac{3q_5}{2C}=U_{total}
	\end{cases}$$		\end{cases}$$
	Решая эту систему, получим:		Решая эту систему, получим:
	$$		$$
	C_{total}=\frac{6}{5}C		C_{total}=\frac{6}{5}C
	$$		$$

	#### Ответ		#### Ответ

	$а.~C=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2},~C=C_1=C_2$		$а.~C=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2},~C=C_1=C_2$

	$б.~C_{total}=\frac{4}{3}C$		$б.~C_{total}=\frac{4}{3}C$

	$в.~C_{total}=\frac{7}{5}C$		$в.~C_{total}=\frac{7}{5}C$

	$г.~C_{total}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}C$		$г.~C_{total}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}C$

	$д.~C_{total}=\frac{6}{5}C$		$д.~C_{total}=\frac{6}{5}C$
	ещё строк без изменений 58