3.5.33 | правка #15013 | Решения Савченко

Условие

3.5.33^∗. Раскачка колебаний, как видно из решения задачи 3.5.32, сопровождается биениями. При ω → ω0 размах биений неограниченно растет, но зато их период, а значит, и время нарастания неограниченно увеличиваются. Пусть время, прошедшее после начала воздействия вынуждающей силы, много меньше 2π/|ω − ω0|. Воспользуйтесь приближением sin ε ≈ ε (ε << 1) и определите характер раскачки колебаний в этом случае.

Условие

$$3.5.33.$$

Решение

Напомним, что решение 3.5.32 имеет вид:

$x(t) = \frac{2F_{0}}{m (\omega_{0}^2 - \omega^2)}sin(\frac{\omega_{0}+\omega}{2}t)sin(\frac{\omega-\omega_{0}}{2}t)$

Период биений гораздо больше, чем период собственных колебаний системы.

$биенийсобств$$T_{биений} = \frac{\pi}{\omega-\omega_{0}} >> T_{собств} = \frac{2\pi}{\omega_{0}}$$$ Это значит, что $|\omega-\omega_{0}|<< \omega$ .

Воспользуемся приближением $sin( \epsilon) \approx \epsilon$ . Тогда решение примет вид:

$x(t) = \frac{2F_{0}}{m (\omega_{0} - \omega)(\omega_{0} + \omega)}sin(\frac{\omega_{0}+\omega}{2}t)(\frac{\omega-\omega_{0}}{2}t)$

Сокращая скобки с разностью, получим:

$x(t) = \frac{F_{0}t}{m (\omega_{0} + \omega)}sin(\frac{\omega_{0}+\omega}{2}t)$

Или, если воспользоваться $\omega_{0} \approx \omega$

$x(t) = \frac{F_{0}t}{2m\omega_{0}}sin(\omega_{0}t)$

Видно, что огибающая синуса возрастает линейно. Построим график решения:

Ответ

Амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает

$x(t) = \frac{F_{0}t}{2m\omega_{0}}sin(\omega_{0}t)$