Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/3.6.11.md
+37 −6
| @@ -1,12 +1,43 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $3.6.11.$ | ||
| + | $3.6.11*.$ Какую наименьшую работу нужно совершить, чтобы согнуть в | ||
| + | кольцо стержень, имеющий квадратное сечение $a × a$? Модуль Юнга материала $E$, длина стержня $l >> a$. | ||
| ### Решение | |||
| + | Так как нам найти минимальную деформацию, то середина стержня не деформируется. Найти работу можно при помощи Закона изменения энергии: | ||
| + | $$ | ||
| + | A = E_{кон} - E_{нач} | ||
| + | $$ | ||
| + | Потенциальная энергия деформации: | ||
| + | $$ | ||
| + | Е = \frac{kx^2}{2} | ||
| + | $$ | ||
| + | Изначально стержень не деформирован, поэтому элементарная работа для одного слоя определяется как: | ||
| + | $$ | ||
| + | \delta A = \frac{kL^2(r)}{2} | ||
| + | $$ | ||
| + |  | ||
| + | где $L(r) = 2\pi r$. | ||
| + | Коэффициент $k$ равен: | ||
| + | $$ | ||
| + | k = \frac{Eds}{l} | ||
| + | $$ | ||
| + | Элементарная площадь слоя $ds = adr$, поэтому: | ||
| + | $$ | ||
| + | k = \frac{Ea}{l}dr | ||
| + | $$ | ||
| + | Подставим: | ||
| + | $$ | ||
| + | \delta A = \frac{2\pi^2aE}{l}r^2dr | ||
| + | $$ | ||
| + | Найдём суммарную работу при помощи интегрирования: | ||
| + | $$ | ||
| + | A_{min} = \frac{2\pi^2aE}{l}\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}r^2dr = \frac{\pi^2Ea^4}{6l} | ||
| + | $$ | ||
| − | 3.6.11∗. Какую наименьшую работу нужно совершить, чтобы согнуть в | ||
| − | кольцо стержень, имеющий квадратное сечение a × a? Модуль Юнга материала E, длина стержня l a. | ||
| − | |||
| #### Ответ | |||
| − | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $$ | ||
| + | \boxed{ | ||
| + | A_{min} = \frac{\pi^2Ea^4}{6l} | ||
| + | } | ||
| + | $$ | ||
| @@ -1,12 +1,43 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.6.11.$ |
$3.6.11*.$ Какую наименьшую работу нужно совершить, чтобы согнуть в | ||
| кольцо стержень, имеющий квадратное сечение $a × a$? Модуль Юнга материала $E$, длина стержня $l >> a$. | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Так как нам найти минимальную деформацию, то середина стержня не деформируется. Найти работу можно при помощи Закона изменения энергии: | |||
| $$ | |||
| A = E_{кон} - E_{нач} | |||
| $$ | |||
| Потенциальная энергия деформации: | |||
| $$ | |||
| Е = \frac{kx^2}{2} | |||
| $$ | |||
| Изначально стержень не деформирован, поэтому элементарная работа для одного слоя определяется как: | |||
| $$ | |||
| \delta A = \frac{kL^2(r)}{2} | |||
| $$ | |||
|  | |||
| где $L(r) = 2\pi r$. | |||
| Коэффициент $k$ равен: | |||
| $$ | |||
| k = \frac{Eds}{l} | |||
| $$ | |||
| Элементарная площадь слоя $ds = adr$, поэтому: | |||
| $$ | |||
| k = \frac{Ea}{l}dr | |||
| $$ | |||
| Подставим: | |||
| $$ | |||
| \delta A = \frac{2\pi^2aE}{l}r^2dr | |||
| $$ | |||
| Найдём суммарную работу при помощи интегрирования: | |||
| $$ | |||
| A_{min} = \frac{2\pi^2aE}{l}\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}r^2dr = \frac{\pi^2Ea^4}{6l} | |||
| $$ | |||
| 3.6.11∗. Какую наименьшую работу нужно совершить, чтобы согнуть в | |||
| кольцо стержень, имеющий квадратное сечение a × a? Модуль Юнга материала E, длина стержня l a. | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | \boxed{ | ||
| A_{min} = \frac{\pi^2Ea^4}{6l} | |||
| } | |||
| $$ | |||